1、专题二 三角函数、解三角形、平面向量第1讲三角函数的图象与性质自主学习导引真题感悟1(2012浙江)把函数ycos 2x1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是解析利用三角函数的图象与变换求解结合选项可知应选A.答案A2(2012湖北)已知向量a(cos xsin x，sin x)，b(cos xsinx,2cos x)，设函数f(x)ab(xR)的图象关于直线x对称，其中、为常数，且.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围解析(1)因为f(x)sin2xc
2、os2x2sin xcos xcos 2xsin 2x2sin.由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin1.所以2k(kZ)，即 (kZ)又 ，kZ，所以k1，故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的图象过点，得f0，即2sin2sin.即，故f(x)2sin.由0x，有x，所以sin1，得12sin2，故函数f(x)在0，上的取值范围为1，2考题分析本节内容高考的重点就是利用三角函数性质，如奇偶性、单调性、周期性、对称性、有界性及“五点作图法”等，去求解三角函数的值、求参数、求最值、求值域、求单调区间等问题，三角函数的图象主要考查其变换，题型既有选择题也有填空题，也有解答
3、题，难度中等偏下网络构建高频考点突破考点一：三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用【例1】(2012北京东城模拟)在平面直角坐标系xOy中，将点A(1，)绕原点O顺时针旋转90到点B，那么点B的坐标为_；若直线OB的倾斜角为，则sin 2的值为_审题导引根据三角函数的定义求出点B的坐标，进而求出角，可求sin 2.规范解答如图所示，点A的坐标为(，1)，AOx60，又AOB90，BOx30，过B作BCx轴于C，OB2，OC，BC1，点B的坐标为(，1)，则直线OB的倾斜角为，即，sin 2sin sin .答案(，1)【规律总结】三角函数的定义与诱导公式的应用(1)三角函数的定义是推导诱导
4、公式及同角三角函数基本关系式的理论基础，应用三角函数的定义求三角函数值有时反而更简单(2)应用诱导公式化简三角函数式，要注意正确地选择公式，注意公式的应用条件【变式训练】1(2012惠州模拟)在(0,2)内，使sin xcos x成立的x的取值范围为A. B. C. D.解析在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在(0,2)内，sin xcos x，则x.答案C2(2012海淀一模)若tan ，则cos_.解析cossin 22sin cos .答案考点二：三角函数图象变换及函数yAsin(x)的解析式【例2】(1)(2012宿州模拟)函数ysin的图象可由ycos 2x的图象经过怎样的变换得
5、到A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位(2)(2012泰州模拟)函数f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0)的部分图象如图所示，则f的值是_审题导引(1)应用诱导公式把两个函数化为同名函数，然后比较二者的差异可得；(2)先由图象求出f(x)的周期，从而得的值，再由关键点求，由最小值求A，故得f(x)，可求f.规范解答(1)ysincoscoscos 2，故函数ysin的图象可由ycos 2x的图象向右平移个单位得到，故选D.(2)如图所示，T.则2.又2，又易知A，故f(x)sin，fsin .答案(1)D(2)【规律总结】求函数yAsin(x)(A0，0
6、)的解析式及其图象变换的规律方法(1)已知函数yAsin(x)(A0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点求A，由函数的周期确定，由图象上的关键点确定.(2)一般地，函数ysin(x)的图象，可以看作把曲线ysin x上所有点向左(当0时)或向右(当0时)平移个单位长度而得到的【变式训练】3(2012临沂模拟)若函数ysin xcos x的图象向右平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是A.B.C.D.解析ysin xcos x2sin，函数图象向右平移m(m0)个单位长度，得到的函数解析式为y2sin，要使所得到的图象关于y轴对称，则有m
7、k，kZ，即mk，kZ，所以当k0时，m，选C.答案C4(2012房山一模)已知函数f(x)sin(x)(0,0)的图象如图所示，则_，_.解析，T，.又，.答案考点三：三角函数图象与性质的综合应用【例3】(2012北京东城11校联考)已知函数f(x)cos2xsin xcos x(0)的最小正周期是.(1)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心；(2)若A为锐角ABC的内角，求f(A)的取值范围审题导引把f(x)化为yAcos(x)k的形式后求单调区间与对称中心，再根据A的范围求f(A)的取值范围规范解答(1)f(x)sin 2xcos，T，1.f(x)cos，2k2x2k，kZ，kxk.函
8、数f(x)的单调增区间为，kZ，令2xk，x，对称中心为，kZ.(2)0A，2A，1cos，cos1，所以f(A)的取值范围为.【规律总结】三角函数性质的求解方法(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f(x)Asin(x)的形式再求解(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性，最值与周期易错提示(1)在求三角函数的最值时，要注意自变量x的范围对最值的影响，往往结合图象求解(2)求函数f(x)Asin(x)的单调区间时，只有当0时，才可整体代入并求其解，当0时，需把的符号化为正值后求解【变式训练】5(2012朝阳模拟)已知函
9、数f(x)cos.(1)若f()，求sin 2的值；(2)设g(x)f(x)f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值解析(1)因为f()cos，所以(cos sin )，所以cos sin .平方得，sin22sin cos cos2，所以sin 2.(2)因为g(x)f(x)fcoscos(cos xsin x)(cos xsin x)(cos2xsin2x)cos 2x.当x时，2x.所以，当x0时，g(x)的最大值为；当x时，g(x)的最小值为.名师押题高考【押题1】已知，sin，则tan()的值为A. B. C D解析sincos ，sin ，tan ，tan()tan .答案B押题
10、依据本题以选择题的形式考查了同角三角函数的基本关系式及诱导公式，重点突出、考查全面，题目考查内容基础性较强，符合高考的方向，故押此题【押题2】(2012北京东城一模)已知函数f(x)(sin 2xcos 2x)22sin22x.(1)求f(x)的最小正周期(2)若函数yg(x)的图象是由yf(x)的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x时，求yg(x)的最大值和最小值解析(1)因为f(x)(sin 2xcos 2x)22sin22xsin 4xcos 4xsin，所以函数f(x)的最小正周期为.(2)依题意，yg(x)sin1sin1.因为0x，所以4x.当4x，即x时，g(x)取最大值1；当4x，即x0时，g(x)取最小值0.押题依据将三角函数式化为yAsin(x)的形式，再求其周期、单调区间、最值等，一直是高考的热点考向，也是三角函数的重要内容，本题考查内容重点突出，难度适中，故押此题高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )