1、第 1 页，共 4 页 2019-2020 学年高三年级第二学期数学（理）第 5 次周测时间：2020 年 4 月 27 日 16:2517:05命题人班级_ 姓名_ 得分_1.已知椭圆:C2214xy+=，1F、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点(1)求12F MF的最大值，并证明你的结论；(2)若 A、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线 AM 的斜率为 k，且1123(,)k ，求直线 BM的斜率的取值范围【答案】解：(1)由椭圆的定义可知：|1|+|2|=4，在 12中，由余弦定理可得：cos12=|1|2+|2|2|12|22|1|2|=(|1|+|2|)2|
2、12|2 2|1|2|2|1|2|=2|1|2|1|2|=2|1|2|1 2(|1|+|2|2)2 1=12，0 12 ，12的最大值为23，此时|1|=|2|，即点 M 为椭圆 C 的上、下顶点时12取最大值，其最大值为23；(2)设直线 BM 的斜率为，(0,0)，则=00+2，=002，=02024，又024+02=1，02=4 402，=14，(12,13)，12 34，故直线 BM 的斜率的取值范围为(12,34).2.已知抛物线 C：2=4的焦点为 F，准线为 l，P 是 C 上的动点(1)当|=4时，求直线 PF 的方程；(2)过点 P 作 l 的垂线，垂足为 M，O 为坐标原点
3、，直线 OM 与 C 的另一个交点为 Q，证明：直线 PQ经过定点，并求出该定点的坐标第 2 页，共 4 页【答案】解：(1)设点(0,0)，由|=4得1+0=4，解得0=3，所以0=23，所以=23031=3，所以直线 PF 的方程为：=3 3或=3+3；(2)证明：设(024,0)(0 0)，则(1,0)，直线 OM 的方程为：=0，联立=02=4，整理得022 4=0，解得(402,40)，当0=2时，直线 PQ 的方程为=1；当0 2时，直线 PQ 的方程为 0=40024(024)，化简得：=40024(1)，综上，直线 PQ 恒过点(1,0)3.已知椭圆:C 2222=1xyab+
4、00(,)ab的左，右焦点分别为1(1,0)，2(1,0)，点 P 在椭圆 E 上，212PFF F，且|1|=3|2|.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)设直线 l：=+1()与椭圆 E 相交于 A，B 两点，与圆2+2=2相交于 C，D 两点，求|2的取值范围解：()因为 P 在椭圆上，所以|1|+|2|=2，又因为|1|=3|2|，所以|2|=2，|1|=32，因为2 12，所以|2|2+|12|2=|1|2，又|12|=2，所以2=2，2=2 2=1，所以椭圆的标准方程为：22+2=1；()设(1,1)，(2,2)，联立直线与椭圆的方程：=+12+22 2=0，整理可得(2+2)2+
5、2 1=0，1+2=22+2，12=12+2，所以弦长|=1+2|1 2|=22(1+2)2+2，设圆2+2=2的圆心 O 到直线 l 的距离为=11+2，所以|=22 2=21+221+2，所以|2=4 1+221+2 22(1+2)2+2=82(1+22)2+2=2(2 32+2)，因为0 32+2 32，12 2 32+2 2，42|2 0)，由已知=2，所以=2，2=42，所以2=2 2=32；又因为点(1,32)在双曲线 C 上，所以 12 942=1，则2 94 2=22，即32 94 2=34，解得2=14，=12，所以=1；连接 PQ，因为1=2，=，所以四边形12为平行四边形
6、，又因为四边形12的周长为42，所以|2|+|1|=22|12|=2，所以动点 P 的轨迹是以点1、2分别为左、右焦点，长轴长为22的椭圆(除去左右顶点)，所以动点 P 的轨迹方程为：22+2=1(0)；(2)由题意可知该直线存在斜率，设其方程为=(2)且 0；由=(2)22+2=1，消去 y 得(1+22)2 82+82 2=0，=8(1 22)0，解得0 2 12，设(1,1)，(2,2)，(,)，则1+2=821+221+2=(1+2 4)=41+22，由+=，得(82(1+22),4(1+22)，代入椭圆方程得2=1621+22，由263 2，解得14 2 12，|=1+2 221221+22=22(1+22)2+1(1+22)1；令=11+22，则 (12,23)，第 4 页，共 4 页|=222+1 (0,253)，即|的取值范围是(0,253).
