1、3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角公式思考：能否由S2,C2推出T2?提示：可以.分子分母同除以cos2得tan2=【知识点拨】剖析二倍角公式(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义.(2)倍角公式中的“倍角”是相对的,对于两个角的比值等于2的情况都成立,如6是3的2倍,3是的2倍.这里蕴含着换元思想.(3)注意倍角公式的灵活运用,要会正用、逆用、变形用.(4)由任意角的三角函数的定义可知,S2，C2中的角是任意的，但要使T2有意义，需要+k且 +k(kZ).类型 一二倍角公式的直接应用【典型例题】1.(2013江西高考)若则cos=()2.(2012山东高考)若 ,sin
2、2=则sin=()3.【解题探究】1.sin 与cos存在着怎样的关系？2.由sin2的值，如何与sin建立联系？3.二倍角的正切公式的表达形式是什么？探究提示：1.2.利用平方关系及二倍角关系建立联系.3.【解析】1.选C.2.选D.由于 ，则2 ，所以cos20.因为所以又cos2=1-2sin2，所以3.答案：【拓展提升】直接应用倍角公式的关注点(1)当单角为非特殊角，而倍角为特殊角时，常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值.(2)当式子中涉及到的角较多，要先变角，化异角为同角.【变式训练】已知sin 2=()，求sin4，cos4.【解析】故所以sin 4=2sin 2cos 2=c
3、os4=2cos22-1=类型 二配凑二倍角公式求值【典型例题】1.已知tan 2=则tan的值为_.2.求下列各式的值：【解题探究】1.已知二倍角的正切，如何求解单角的正切?2.题2求解的关键是什么？探究提示：1.已知二倍角的正切，求单角的正切，可以借助二倍角正切公式，利用方程的思想进行求解，若有范围限制，需要对得到的解进行取舍.2.求解题2的关键是根据题目式子的结构特点合理的变形构造使用二倍角公式进行求值.【解析】1.由整理可得：tan2+4tan-1=0.解得：tan=答案：2.(1)原式=(2)原式=【互动探究】题1中若把已知条件改为“2是第二象限角，tan2=-3”如何求解tan?【
4、解析】根据已知整理可得：3tan2-2tan-3=0.解得或因为2是第二象限角，所以是第一或第三象限角,所以舍去，故【拓展提升】二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式.主要形式有：(2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，思考时要融会贯通，有目的地活用公式.主要形式有：类型 三利用二倍角公式化简与证明【典型例题】1化简cos2+2sin2得()A.0 B.1 C.sin2 D.cos22.的值为()A.B.C.2 D.43.设k+kZ，求证：【解题探究】1.cos2与sin2有何联系？2.二倍角的正弦公式的形式是什么？3.证明三角恒等式应遵循什么样的原则?探究提示：1.cos2=1-2
5、sin2.2.sin2=2sincos.3.应本着“异名化同名，复角化单角”的原则.【解析】1.选B.因为cos2=1-2sin2，所以cos2+2sin2=1-2sin2+2sin2=1.2.选A.3.左边=右边.所以【互动探究】若题1改为cos2-2cos2结果又如何？【解析】因为cos2=2cos2-1,所以cos2-2cos2=2cos2-1-2cos2=-1.【拓展提升】证明问题的原则及一般步骤(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“
6、复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.【变式训练】证明：【证明】左边=右边.所以成立.【规范解答】二倍角公式的综合应用问题【典例】【条件分析】【规范解答】(1)3分因为函数f(x)的最小正周期为，且0，所以解得=1.6分(2)由(1)得因为0 x 所以8分所以所以10分即f(x)在区间 上的取值范围为 .12分【失分警示】【防范措施】1.熟练的正用，逆用公式熟记两角和差公式，二倍角公式，同时要把握好逆用的公式特点.如本例中由sin2x通过降幂得到由逆用两角差的正弦公式得到2.正确运用不等式的性质对于不等式的性质，要把握好不等号的方向以及不等式变形的特点
7、.如本例中由得到【类题试解】已知函数f(x)=2cos2x+2sinxcos x+1(xR,0)的最小正周期为(1)求的值.(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合.【解析】(1)由已知函数f(x)的最小正周期为可得所以=2.(2)由(1)知f(x)=当(kZ),即x=(kZ)时，取得最大值1，函数f(x)的最大值是此时x的集合为1.sin 15sin 75的值为()【解析】选C.sin 15sin 75=sin 15cos 15=sin 30=2.在ABC中，则cos2A=()【解析】选A.ABC中，则3.sin+cos=0，则sin 2=_，cos 2=_.【解析】sin+cos=0，则(),又sin+cos=两边平方得1+sin2=sin2=因为2(),所以cos 2=答案：4.设则【解析】又所以sin0,cos0,sin-cos0,故答案：-15.已知函数f(x)2sin(x)cos x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值【解析】(1)因为f(x)2sin(x)cos x2sin xcos xsin 2x，所以函数f(x)的最小正周期为.(2)由所以所以f(x)在区间 上的最大值为1，最小值为
