1、阶段复习课第四章【答案速填】标准方程相离相切相交类型 一求圆的方程圆的方程的求法及注意点(1)求圆的方程的常用方法有待定系数法、几何法等,运用待定系数法时,要充分利用题目中提供的条件来确定三个独立的参数;使用几何法时,要充分利用圆的有关性质,如垂径定理、“半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形”等.(2)如果已知条件容易求得圆心坐标、半径,则一般选用圆的标准方程,否则选用圆的一般方程.【典例1】(1)过点A(1,2),且与两坐标轴同时相切的圆的方程为()A.(x-1)2+(y-1)2=1或(x-5)2+(y-5)2=25B.(x-1)2+(y-3)2=2C.(x-5)2+(y-5)2=25D.
2、(x-1)2+(y-1)2=1(2)求经过两点P(-2,4),Q(3,-1),且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程.【解析】(1)选A.由题意可设圆心为(a,a),则半径r=a,圆方程为(x-a)2+(y-a)2=a2,又点A(1,2)在圆上,所以(1-a)2+(2-a)2=a2,解得a=1或a=5.所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1或(x-5)2+(y-5)2=25.(2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将P,Q两点的坐标分别代入,得又令y0,得x2DxF0.由已知,得|x1-x2|6(其中x1,x2是方程x2DxF0的两根),所以D2-4F36 联立组成方程组,解得
3、或所以所求圆的方程为x2y2-2x-4y-80或x2y2-6x-8y0.类型 二直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系的种类及常见的问题(1)直线与圆的位置关系有:相离、相切和相交.判定的方法有代数法和几何法,其中几何法较常用,比代数法的运算量要小.(2)直线与圆相离.常见的问题有:利用圆心到直线的距离d与半径r的关系求一些参数的范围;在圆上求一些最值问题,如设圆心到直线的距离为d,设圆上点到线上点的距离为d,则d-rdd+r.(3)直线与圆相切.常见的问题有:求切线方程或已知直线与圆相切求一些参数的值,这些问题一般都利用圆心到直线的距离等于半径进行解题,可以直接解三角形,也可以利用d=r解方程
4、,确定待定系数.(4)直线与圆相交.常见的问题有:求交点;求弦长,圆的弦长公式l=(R表示圆的半径，d表示弦心距)，利用这一弦长公式比用一般二次曲线的弦长公式l=要方便.【典例2】已知圆C和y轴相切,圆心在直线x-3y0上,且被直线yx截得的弦长为求圆C的方程【解析】设圆C的方程为(x-a)2(y-b)2r2(r0).由圆C与y轴相切得|a|r ,又圆心在直线x-3y0上,所以a-3b0 ,圆心C(a,b)到直线yx的距离为因为弦心距d,半径r及弦的一半构成直角三角形,所以r2 .联立,解方程组可得或故圆C的方程为(x-3)2(y-1)29或(x3)2(y1)29.类型 三圆与圆的位置关系判定
5、圆与圆的位置关系的方法(1)代数法：通过两圆方程组成方程组的解的个数进行判断：(2)几何法:【典例3】(1)两圆x2+y2=r2,(x-3)2+(y+4)2=4相切,则正实数r的值为.(2)如图,已知圆心坐标为M(,1)的圆M与x轴及直线y=x均相切,切点分别为A,B,另一圆N与圆M,x轴及直线y=x均相切,切点分别为C,D.求圆M和圆N的方程.过B点作MN的平行线l,求直线l被圆N截得的弦长.【解析】(1)当两圆外切时,两圆圆心的距离d=5,由题意,得r+2=5,所以r=3;当两圆内切时,由题意知r-2=5,即r=7.答案:3或7(2)由于圆M与BOA的两边均相切,故M到OA及OB的距离均为
6、圆M的半径,则M在BOA的平分线上,同理,N也在BOA的平分线上,即O,M,N三点共线,且MN为BOA的平分线,因为M的坐标为M(，1)，所以M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，所以圆M的方程为(x-)2+(y-1)2=1;设圆N的半径为r(r0)，由RtOAMRtOCN,得OMON=MANC,即解得r=3,故OC所以圆N的方程为(x-)2+(y-)2=9.由对称性可知，所求弦长等于过A点的MN的平行线被圆N截得的弦长，此弦所在直线方程为即圆心N到该直线的距离则弦长类型 四数形结合思想的运用对数形结合思想的认识数形结合思想,就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考查的思想,根据解决问题的需要
7、,可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论,或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究,简而言之,就是“数形结合取长补短”.【典例4】圆x22xy24y-30上到直线xy10的距离为的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.圆x22xy24y-30的圆心C的坐标为(-1,-2),半径r如图所示,圆心C到直线xy10的距离为故过圆心C与直线xy10平行的直线l与圆的两个交点A，B到直线xy10的距离为又圆的半径r故过圆心C作直线xy10的垂线段,并延长与圆的交点C到直线xy10的距离为故选C.【跟踪训练】1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以(-2,3)为
8、圆心,4为半径的圆,则D,E,F的值分别为()A.4,-6,3 B.-4,6,3C.-4,6,-3 D.4,-6,-3【解析】选D.圆心为(),所以-2,3,所以D4,E-6,又R代入算得F-3.2.直线xy-20被圆(x-1)2y21截得的线段的长为()A.1 B.C.D.2【解析】选C.圆心到直线的距离所以弦长l3.已知方程x2y2kx2yk20所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为()A.(-1,1)B.(-1,0)C.(1,-1)D.(0,-1)【解析】选D.r 1,即当有最大半径时有最大面积,此时k0,半径为1,圆心为(0,-1)4.一动点在圆x2y21上移动时,
9、它与定点B(3,0)连线的中点轨迹是()A.(x3)2y24 B.(x-3)2y21C.(x+)2y21 D.(2x-3)24y21【解析】选D.设圆上任意一点为A(x,y),AB的中点为P(x,y),则即由于A(x,y)在圆x2y21上,所以满足x2y21,即(2x-3)24y21.5.已知直线l经过坐标原点,且与圆x2y2-4x30相切,切点在第四象限,则直线l的方程为_【解析】设切线方程为ykx,代入圆方程中,得(1k2)x2-4x30.由0,解得k(舍去k=),所以切线方程为xy0.答案：xy06.已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(mR).(1)证明：不论m取什么实数，直线l必与圆相交.(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.【解析】(1)直线方程可变形为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0.因为mR,所以解得所以直线l必过定点A(3,1).又因为(3-1)2+(1-2)2=525,所以点(3，1)在圆C内，故直线l必与圆C相交.(2)要使弦长最小，必须lAC.因为圆心C(1，2)和定点A(3，1)所在的直线l1的斜率k1=所以直线l的斜率k=2.所以所求直线l的方程为2x-y-5=0.
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