1、4.2.3 直线与圆的方程的应用类型 一直线与圆的方程的实际应用【典型例题】1.(2013济宁高一检测)一辆卡车宽1.6m,要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m),则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A.1.4m B.3.5m C.3.6m D.2.0m2.某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是36m,拱高OP是6m,在建造时,每隔3m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长.(精确到0.01m)【解题探究】1.题1中的条件放在圆中相当于已知哪些条件?2.与圆形有关的实际问题转化为数学问题的过程是什么?探究提示:1.已知圆的半径及弦长.2.建系求点的坐标求圆的方程求得实际问题的结果
2、.【解析】1.选B.圆半径OA3.6,卡车宽1.6,所以AB0.8,所以弦心距OB 3.5(m).2.如图,以线段AB所在的直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,那么点A,B,P的坐标分别为(-18,0),(18,0),(0,6)设圆拱所在的圆的方程是x2y2DxEyF0.因为A,B,P在此圆上,故有解得故圆拱所在的圆的方程是x2y248y-3240.将点P2的横坐标x6代入上式,解得y-24 5.39(m).答：支柱A2P2的长约为5.39 m.【拓展提升】建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则(1)若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴.(2)常选特殊点作为直角坐标
3、系的原点.(3)尽量使已知点位于坐标轴上.建立适当的直角坐标系,会简化运算过程.【变式训练】如图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽为m.【解析】如图所示,以圆拱拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立直角坐标系,设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知得A(6,-2),B(-6,-2).设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.将点A的坐标(6,-2)代入方程,解得r=10.所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降1m后,可设点A的坐标为(x0,-3)(x00),将A的坐标(x
4、0,-3)代入方程,求得x0=.所以,水面下降1m后,水面宽为2x0=2 (m).答案:2类型 二坐标法的应用【典型例题】1.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.5 B.10 C.15 D.202.如图,直角ABC的斜边长为定值2m,以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆,直线BC交圆于P,Q两点,求证:|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.【解题探究】1.过圆内某点的最长弦和最短弦分别是什么?2.与圆有关的平面几何问题能否转化为与圆的方程有关的问题求解?探究提示:1.过圆内某点的最长弦为过该点的直径,最短弦为与此
5、直径垂直的弦.2.与圆有关的平面几何问题可通过建立适当的平面直角坐标系转化为与圆的方程有关的问题来求解.【解析】1.选B.圆的方程化为(x-1)2+(y-3)2=10,设圆心为G,易知G(1,3),最长弦AC为过E的直径,则|AC|=最短弦BD为与GE垂直的弦,如图所示,易得|BG|=,|EG|=|BD|=2|BE|=所以四边形ABCD的面积为S|AC|BD|2.如图,以O为坐标原点,以直线BC为x轴,建立平面直角坐标系,于是有B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).设A(x,y),由已知,点A在圆x2+y2=m2上.|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=(x+n)2+y2+
6、(x-n)2+y2+4n2=2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值).【拓展提升】用坐标法解决几何问题的思路用坐标法解决几何问题,要先建立适当的坐标系,用坐标表示出相应的几何元素,如点、直线、圆等,将几何问题转化为代数问题来解决,通过代数的运算得到结果,分析结果的几何意义,得到几何结论.【变式训练】AB为圆的定直径,CD为圆的动直径,过点D作AB的垂线DE,延长ED到点P,使|PD|=|AB|,求证:直线CP必过一定点.【解题指南】由题意建立平面直角坐标系,将平面几何问题转化为解析几何知识求解.【证明】以AB为x轴,圆心O为原点建立平面直角坐标系,设圆的半径为r.则A(r,0),B(-r
7、,0),设C(x0,y0),则D(-x0,-y0),所以P(-x0,-y0-2r),当x00时,直线CP的方程为y-y0=(x-x0),即x0(y+r)=x(y0+r),所以CP过直线y+r=0和x=0的交点,即直线过定点(0,-r).经验证当x0=0时,CP也过点(0,-r),故直线CP必过一定点.与圆有关的最值问题【典型例题】1.已知点A(3,0)及圆x2+y2=4,则圆上一点P到点A距离的最大值是,最小值是.2.已知实数x,y满足x2+y2-4x+1=0,则x-y的最大值和最小值分别是_和_.的最大值和最小值分别是_和_.x2+y2的最大值和最小值分别是_和_.【解析】1.方法一(几何法
8、):圆的半径为2,圆心到点A的距离为3,结合图形可知,圆上一点P到点A距离的最大值是3+2=5,最小值是3-2=1.方法二(代数法):设P(x,y)是圆上任意一点,则|PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+4-x2=13-6x,因为-2x2,所以当x=-2时,|PA|max2=25,则|PA|max=5;当x=2时,|PA|min2=1,则|PA|min=1.答案:512.(1)设x-yb，则yx-b与圆x2y2-4x10有公共点,即所以故x-y最大值为2,最小值为2-.(2)设k,则ykx与x2y2-4x10有公共点,即所以,故最大值为,最小值为(3)圆心(2,0)到原点距离为2,半径
9、r故(2-)2x2y2(2)2.由此x2y2最大值为74 ,最小值为7-4 .答案：【拓展提升】利用直线与圆的方程解决最值问题的方法(1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的几何量有斜率、截距、距离等.(2)转化成函数解析式,利用函数的性质解决.【易错误区】利用数形结合的解题误区【典例】方程kx2有惟一解,则实数k的范围是()A.k B.k(-2,2)C.k2 D.k2或k3【解析】选D.由题意知,直线ykx2与半圆x2y21(y0)只有一个交点结合图形易得k2或k【误区警示】【防范措施】1.数形结合的运用解
10、答此类问题主要方法是数形结合,以形助数,通过对图形的分析来寻找解题思路.同时注意关键点的取舍,如本例漏掉相切的情况或相交时只有一个交点的情况而致错.2.注意隐含条件的挖掘本例中所给等式本身隐含着这一条件,若不注意挖掘则可能出现只根据直线与圆相切求解k而致错.【类题试解】方程表示的曲线为()A.两个半圆B.一个圆C.半个圆D.两个圆【解析】选A.两边平方整理得:(|x|-1)2+(y-1)2=1,由|x|-10得x1或x-1,所以(x-1)2+(y-1)2=1(x1)或(x+1)2+(y-1)2=1(x-1),所以为两个半圆,故选A.1.若直线y=ax+b通过第一、二、四象限,则圆(x-a)2+
11、(y-b)2=r2(r0)的圆心位于第象限()A.一 B.二 C.三 D.四【解析】选B.由于直线通过第一、二、四象限,所以a0,故圆心位于第二象限.2.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为则a的值为()A.-2或2 B.或C.2或0 D.-2或0【解析】选C.圆心为(1,2),利用点到直线的距离公式得化简得|a-1|=1,解得a=0或a=2.3.过点M(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=9分成两段弧,其中的劣弧最短时,直线l的方程为.【解析】设圆心为N(2,0),由圆的性质得直线lMN时,形成的劣弧最短,由点斜式得直线l的方程为x-2y+3=0.答案:x-2
12、y+3=04.圆x2y216上的点到直线x-y3的距离的最大值为_【解析】圆心到直线x-y3的距离为所以圆x2y216上的点到直线x-y3的距离的最大值为答案：5.设村庄外围所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示，村外一小路方程可用x-y+2=0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为_.【解析】因为圆心到直线的距离为从村庄外围到小路的最短距离为答案:6.点P是直线2x+y+10=0上的动点,直线PA,PB分别与圆x2+y2=4相切于A,B两点,则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值是多少?【解析】如图所示，四边形PAOB的面积S2|PA|OA|所以当直线OP垂直于直线2xy100时,其面积S最小,此时|OP|min=故S最小值为
