1、2.2.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质标准方程(ab0)(ab0)图 形范 围_-axa,-byb-bxb,-aya椭圆的简单几何性质标准方程(ab0)(ab0)对称性对称轴:_;对称中心:_焦 点F1_,F2 _F1 _,F2 _焦 距|F1F2|=_|F1F2|=_顶 点A1_,A2 _;B1 _,B2 _A1 _,A2 _;B1 _,B2 _轴长长轴|A1A2|=_;短轴|B1B2|=_长轴|A1A2|=_;短轴|B1B2|=_离心率e=_e=_坐标轴(0,0)(-c,0)(c,0)(0,-c)(0,c)2c2c(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b)(0,-a)
2、(0,a)(-b,0)(b,0)2a2b2a2b(0,1)(0,1)判断:(正确的打“”,错误的打“”)(1)椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c.()(3)椭圆的离心率e越接近于1,椭圆越圆.()提示:(1)错误.只有椭圆方程是标准方程时,此说法才正确,而此处并未说明是标准方程,故不正确.(2)正确.椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c,最小值为a-c.(3)错误.离心率e越接近于1,即c越大,这时b越小,椭圆越扁.答案:(1)(2)(3)【知识点拨】对椭圆几何性质的六点说明(1)椭圆的焦点决定了椭圆的位置.在ab0时,方程的焦点在x轴上,方程的
3、焦点在y轴上.(2)椭圆的范围决定了椭圆的大小,即椭圆位于四条直线x=a,y=b围成的矩形内.(3)椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度,具体影响如下:(4)椭圆是轴对称与中心对称图形,具体如下:(5)椭圆的长轴和短轴都是线段,并不是直线,所以它们有长度,长轴长是2a,短轴长是2b.(6)在椭圆中,a,b,c都具有实际的具体意义,其中a长半轴长,b短半轴长,c半焦距.它们之间的关系是a2-b2=c2.类型 一利用标准方程研究几何性质【典型例题】1.(2013北京高二检测)椭圆x2+8y2=1的短轴的端点坐标是()A.(0,-),(0,)B.(-1,0),(1,0)C.(2 ,0),(-2 ,0)D
4、.(0,2 ),(0,-2 )2.设椭圆方程为mx2+4y2=4m(m0)的离心率为,试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标.【解题探究】1.题1中的方程是标准形式吗?如何在标准形式下区分焦点所在的坐标轴?2.题2中的方程首先应如何处理?能判断出焦点的位置吗?探究提示:1.题1中的方程不是椭圆的标准形式,标准形式是(mn且m0,n0).当mn0时,焦点在x轴上,当nm0时,焦点在y轴上.2.首先把此方程化成标准形式,因为不确定焦点的位置,故需要讨论处理.【解析】1.选A.把方程化为标准形式得焦点在x轴上,b2=,b=,故椭圆短轴的端点坐标为(0,).2.椭圆方程可化为(1)当0m4时
5、,a=,b=2,c=,e=解得m=a=c=椭圆的长轴的长和短轴的长分别为,4,焦点坐标为F1(),F2(),顶点坐标为A1(),A2(),B1(-2,0),B2(2,0).【拓展提升】确定椭圆的几何性质的四个步骤(1)化标准:把椭圆方程化成标准形式.(2)定位置:根据标准方程分母大小确定焦点位置.(3)求参数:写出a,b的值,并求出c的值.(4)写性质:按要求写出椭圆的简单几何性质.【变式训练】求椭圆64x2+25y2=400的长轴长、短轴长、焦距、离心率、焦点和顶点坐标.【解析】椭圆的方程可化为16 ,焦点在y轴上,并且长半轴长a=4,短半轴长b=半焦距长轴长2a=8,短轴长2b=5,焦距2
6、c=.离心率e=,焦点坐标为(0,-),(0,),顶点坐标为(-,0),(,0),(0,-4),(0,4).类型 二利用几何性质求标准方程【典型例题】1.(2013宜春高二检测)焦距为6,离心率e=,焦点在x轴上的椭圆的标准方程是()A.B.C.D.2.(2013大理高二检测)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且经过点A(2,0),求椭圆的标准方程.【解题探究】1.如果只给离心率的值,方程能够确定吗?2.题2中椭圆的焦点的位置是确定的吗?探究提示:1.方程不能确定.离心率的值只决定扁平程度,不能确定椭圆的方程.2.题中给出的条件只是定量条件,并不能确定焦点位置,所以解题时应分情况讨论.【解析】1
7、.选D.由条件知2c=6且解得c=3,a=5,从而b2=a2-c2=16.又椭圆焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为2.若椭圆的焦点在x轴上,设椭圆方程为(ab0),椭圆过点A(2,0),=1,a=2.2a=22b,b=1,方程为+y2=1.若椭圆的焦点在y轴上,设椭圆方程为=1(ab0),椭圆过点A(2,0),b=2,由2a=22b,a=4,方程为综上所述,椭圆的标准方程为+y2=1或=1.【互动探究】1.题1中,把“焦点在x轴上”去掉,结果如何?【解析】焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,由于a=5,b2=16,故标准方程为或2.题2中,把“经过点A(2,0)”改为“焦点为(2,0)”,结果如
8、何?【解析】焦点为(2,0),椭圆的焦点在x轴上且c=2,由条件知2a=22b,a=2b.又a2-b2=c2,(2b)2-b2=4,即b2=,a2=,椭圆的标准方程为【拓展提升】1.根据几何性质求椭圆方程的两个关键2.求椭圆标准方程的一般方法及步骤(1)基本方法:待定系数法.(2)一般步骤:类型 三与离心率有关的问题【典型例题】1.(2013大理高二检测)椭圆的离心率为()2.(2012江西高考)椭圆(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.-23.椭圆(ab0)的右顶点是A(a,0)
9、,其上存在一点P,使APO=90,求椭圆的离心率的取值范围.【解题探究】1.利用公式求离心率的关键是什么?2.椭圆的长轴上的顶点到焦点的距离如何表示?3.求离心率的取值范围的关键是什么?探究提示:1.利用公式求离心率的关键是准确确定a和c的值.2.长轴的顶点到相应焦点的距离为a-c,到另一侧焦点的距离为a+c.3.求离心率的取值范围的关键是建立a,b,c的齐次不等关系式.【解析】1.选D.方程中,a2=16,c2=16-8=8,离心率2.选B.因为A,B为左、右顶点,F1,F2为左、右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c.又因为|AF1|,|F1F2|,|BF1
10、|成等比数列,所以(a+c)(a-c)=4c2,即a2=5c2,所以离心率e=3.设P(x,y),由APO=90知:P点在以OA为直径的圆上.圆的方程是:(x-)2+y2=()2y2=ax-x2 又P点在椭圆上,故:把代入得:(a2-b2)x2-a3x+a2b2=0.故(x-a)(a2-b2)x-ab2=0,xa,x0又0 xa,0 a2b2a2a2又0e1,故所求的椭圆离心率的取值范围是e4,但当k0时,k+40,m=4.解得e=3.椭圆25x2+9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A.5,3,0.8 B.10,6,0.8C.5,3,0.6 D.10,6,0.6【解析】选B.把椭
11、圆的方程写成标准形式为知a=5,b=3,c=4.2a=10,2b=6,=0.8.4.椭圆6x2+5y2=30上的点到其焦点的距离的最大值是,最小值是.【解析】把方程化成标准形式得这里a2=6,b2=5,c2=a2-b2=1.最大值为a+c=+1,最小值为a-c=-1.答案:+1-15.已知与椭圆有相同的离心率且长轴长与的长轴长相同的椭圆方程为.【解析】椭圆的离心率为e=,椭圆的长轴长为4 解得a=2 ,c=,b2=a2-c2=6.又所求椭圆焦点既可在x轴上,也可在y轴上,故方程为或答案:或6.椭圆短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆长轴端点的最短距离为,求此椭圆的标准方程.【解析】当焦点在x轴上时,设椭圆方程为由题意知a=2c,a-c=,解得a=2 ,c=,所以b2=9,所求的椭圆方程为;同理,当焦点在y轴上时,所求的椭圆方程为
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