1、1.4.3 含有一个量词的命题的否定一、含有一个量词的全称命题的否定全称命题pp结论xM,p(x)_全称命题的否定是_命题x0M,p(x0)特称思考:用自然语言描述的全称命题的否定形式唯一吗?提示:不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形”.二、含有一个量词的特称命题的否定特称命题pp结论x0M,p(x0)_特称命题的否定是_命题xM,p(x)全称判断:(正确的打“”,错误的打“”)(1)命题p的否定是p.()(2)x0M,p(x0)与xM,p(x)的真假性相反.()(3)从特称命题的否定看,是对“量词”和“p(x)
2、”同时否定.()提示:(1)正确.命题p与p互为否定.(2)正确.特称命题p与其否定p一真一假.(3)错误.尽管特称命题的否定是全称命题,只是对“p(x)”进行否定,而将“存在量词”调整为“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”.答案:(1)(2)(3)【知识点拨】1.对全称命题的否定以及特点的理解(1)全称命题的否定实际上是对量词“所有”否定为“并非所有”,所以全称命题的否定的等价形式就是特称命题,将全称量词调整为存在量词,就要对p(x)进行否定,这是叙述命题的需要,不能认为对全称命题进行“两次否定”,否则就是“双重否定即肯定”,所以含有一个量词的命题的否定仍是一次否定.(2)对于省去了全称
3、量词的全称命题的否定,一般要改写为含有全称量词的命题,再写出命题的否定命题.2.对特称命题的否定以及特点的理解(1)由于全称命题的否定是特称命题,而命题p与p互为否定,所以特称命题的否定就是全称命题.(2)全称命题与特称命题以及否定命题都是形式化命题,叙述命题时要结合命题的内容和特点,灵活运用自然语言、符号语言进行描述,这样才能准确判断命题的真假.类型 一全称命题的否定与真假判断【典型例题】1.全称命题“所有的素数都是奇数”的否定是,这是命题(填真、假).2.写出下列全称命题p的否定,并判断p的否定的真假:(1)p:x0,x+2.(2)p:所有矩形的对角线相等.(3)p:不论m取什么实数,x2
4、+x-m=0必有实数根.【解题探究】1.全称命题的否定是什么命题?2.全称命题的否定中,如何调整量词与p(x)?探究提示:1.全称命题的否定是特称命题.2.全称量词调整为存在量词,并对p(x)进行否定.【解析】1.全称命题“所有的素数都是奇数”的否定是特称命题“存在一个素数不是奇数”,这是真命题.答案:存在一个素数不是奇数 真2.(1)p:x00,x0+2.假命题.(2)p:有的矩形的对角线不相等.假命题.(3)p:存在实数m0,使x2+x-m0=0没有实数根.真命题.【互动探究】若题2(3)变为“p:不论m取什么实数,x2+2mx+m2+1=0都无实数根”试写出p,并判断其是真命题还是假命题
5、.【解析】p:存在实数m0,使x2+2m0 x+m02+1=0有实数根.由于=(2m0)2-4(m02+1)=-40,x2+x0.(2)p:所有矩形都有外接圆.【解析】1.全称命题“所有能被6整除的数都能被2整除”的否定是“存在一个能被6整除的数不能被2整除”,这是假命题.答案:存在一个能被6整除的数不能被2整除 假2.(1)p:x00,x02+x00.假命题.(2)p:有的矩形没有外接圆.假命题.类型 二特称命题的否定与真假判断【典型例题】1.(2012安徽高考)命题“存在实数x,使x1”的否定是()A.对任意实数x,都有x1B.不存在实数x,使x1C.对任意实数x,都有x1D.存在实数x,
6、使x12.写出下列特称命题p的否定p,并判断p的真假:(1)p:x00,x0+21”的否定是“对任意实数x,都有x1”.2.(1)p:x0,x+20.由于x0时,x+=-(-x-)-2,当且仅当x=-1时取等号,x+20,p为假命题.(2)p:任何一个向量都不与任意向量平行.假命题.(3)p:对任意实数m,x2+x+m=0的两根不都是正数.假设x2+x+m=0的两根x1,x2都是正数,则必须即此不等式组无解,所以不存在实数m0,使x2+x+m0=0的两根都是正数,命题p为假命题,所以p为真命题.【拓展提升】特称命题的否定形式与判断真假的方法(1)求特称命题的否定命题,先将存在量词调整为全称量词
7、,再对性质p(x)否定为p(x).(2)由于命题与命题的否定一真一假,所以如果判断一个命题的真假困难时,那么可以转化为判断命题的否定的真假从而进行判断.【变式训练】1.特称命题“有些奇数是合数”的否定是,这是命题(填真、假).2.写出下列特称命题p的否定p,并判断p的真假:(1)p:x00,x020.(2)p:0,0R,cos(0+0)=cos0+cos0.(3)p:有些数列既是等差数列又是等比数列.【解析】1.特称命题“有些奇数是合数”的否定是“任何一个奇数都不是合数”,这是假命题.答案:任何一个奇数都不是合数 假2.(1)p:xm”为假命题,则实数m的取值范围是.2.已知命题p(x):si
8、nx+cosxm,q(x):x2+mx+10.如果对于xR,p(x)为假命题且q(x)为真命题,求实数m的取值范围.【解题探究】1.特称命题是假命题,其否定的真假如何?2.题2中p(x)为假命题,一般应如何转化?探究提示:1.特称命题是假命题,其否定是真命题.2.当含有一个量词的命题是假命题时,一般利用它与其否定命题的真假相反,即利用其否定为真命题转化解决.【解析】1.令f(x)=sinxcosx=sin2x,x0,可知f(x)在0,上为增函数,在(,上为减函数,由于f(0)=0,f()=,f()=0,所以0f(x),由于“x00,sinx0cosx0m”为假命题,其否定“x0,sinxcos
9、xm”为真命题,所以mf(x)max=即实数m的取值范围是 ,+).答案:,+)2.由于命题p(x):对xR,sinx+cosxm是假命题,则p(x):x0R,sinx0+cosx0m是真命题,sinx+cosx=sin(x+)-,m-即可.由于q(x):xR,x2+mx+10为真命题,即对于xR,x2+mx+10恒成立,有=m2-40,-2m2.依题意,得-m2.所以实数m的取值范围是m|-m2.【互动探究】若题2中“如果对于xR,p(x)为假命题且q(x)为真命题”改为“如果对于xR,p(x)与q(x)有且仅有一个是真命题”,其他条件不变,求实数m的取值范围.【解析】sinx+cosx=s
10、in(x+)-当p(x)是真命题时,m0恒成立,有=m2-40,-2m2.当p(x)为真,q(x)为假时,m-同时m-2或m2,即m-2.当p(x)为假,q(x)为真时,m-且-2m2,即-m2.综上,实数m的取值范围是m-2或-m2.所以实数m的取值范围是m|m-2或-mf(x)(或af(x)max(或af(x0)(或af(x)min(或af(x)max).(3)若全称命题为假命题,通常转化为其否定命题特称命题为真命题解决,同理,若特称命题为假命题,通常转化为其否定命题全称命题为真命题解决.【变式训练】已知命题p:x1,3,x2-a0,命题q:“x0R,x02+2ax0+2-a=0”,若命题
11、“p或q”是假命题,求实数a的取值范围.【解析】由“p或q”是假命题,所以“p且q”是真命题,则p为真命题,q也为真命题.若p为真命题,ax2恒成立,x1,3,x21,9,a1.若q为真命题,即x2+2ax+2-a=0有实根,=4a2-4(2-a)0,即a-2或a1,综上所述,实数a的取值范围是a|a-2或a=1.【易错误区】因忽视函数与方程思想的应用导致无法转化【典例】若“x00,sinx0+cosx0m”为假命题,则实数m的取值范围是.【解析】令f(x)=sinx+cosx=2sin(x+),x0,可知f(x)在0,上为增函数,在(,上为减函数,由于f(0)=,f()=2,f()=1,所以
12、1f(x)2,由于“x00,sinx0+cosx0f(x)min=1,所以原命题为假命题的参数m的取值范围是m1.【类题试解】若“x0,sinx+cosxm”为假命题,则实数m的取值范围是()A.m1B.m1C.m2D.1m2【解析】选C.令f(x)=sinx+cosx=2sin(x+),x0,可知f(x)在0,上为增函数,在(,上为减函数,由于f(0)=,f()=2,f()=1,所以1f(x)2,由于“x0,sinx+cosxx”的否定是()A.x0R,x0B.xR,exxC.xR,exx D.x0R,x0【解析】选D.全称命题:“xM,p(x)”的否定为特称命题“x0M,p(x0)”.2.
13、关于命题p:“xR,x2+10”的叙述正确的是()A.p:x0R,x02+10B.p:xR,x2+1=0C.p是真命题,p是假命题D.p是假命题,p是真命题【解析】选C.命题p:“xR,x2+10”的否定是“x0R,x02+1=0”.所以p是真命题,p是假命题.3.“x0R,sinx00 B.x0R,sinx00C.xR,sinx0 D.xR,sinx0【解析】选D.特称命题“x0M,p(x0)”的否定为全称命题“xM,p(x)”.4.命题“有的直线没有斜率”的否定是.【解析】命题“有的直线没有斜率”的否定是“任何一条直线都有斜率”.答案:任何一条直线都有斜率5.若命题“x0a”是假命题,则实数a的取值范围是.【解析】由于命题“x0a”是假命题,则其否定命题“x0.(2)p:x0,y0R,+(y0+1)2=0.【解析】(1)p:x0R,x02+x0+10.由于x2+x+1=(x+)2+,所以p为假命题.(2)p:x,yR,+(y+1)20.当x=-y=1时,+(y+1)2=0,所以p为假命题.
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