1、2基本不等式1.两个定理及算术平均与几何平均.2aba=ba=b不小于于）（即大于或等中线高2.利用基本不等式求最值.对两个正实数x,y.(1)如果它们的和S是定值，则当且仅当_时，它们的积P取得_.(2)如果它们的积P是定值，则当且仅当_时，它们的和S取得_.x=y最大值x=y最小值1.函数的最小值是2吗?提示：函数的最小值不是2.当x0时,(当且仅当x=1时取等号)当x0,b0，则a2+b2与的大小关系为_2.若ab1，试比较P，Q，R的大小关系【解题探究】1.之间有什么样的关系？2.题2中ab1的作用是什么？探究提示：1.故2.由ab1，可以得到【解析】1.因为由a2+b22ab,得2(
2、a2+b2)(a+b)2,又a0,b0,所以当且仅当a=b时，等号成立.所以答案：2.因为ab1,所以所以又而所以即QR,所以PQR.【拓展提升】1.巧用基本不等式比较大小要想运用基本不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合不等式成立的条件，化归的方法是把题目中给出的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换，讲究一个巧字，根据问题的具体情况把待求的数或式拆配得恰到好处，才能顺利地进行运算.2.利用基本不等式比较代数式大小的两个注意点(1)在应用基本不等式时，一定要注意其前提条件是否满足，即a0,b0.(2)若问题中一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，
3、这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用基本不等式试试看.【变式训练】已知0a1,0b1，求中的最大者.【解析】因为0a1,0b1,所以所以四个数中的最大者应从a+b和a2+b2中选择.又因为a-10,b-10,所以a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1)0,即a2+b20，y0，且则x+y的最小值为_2.当x0时，求的值域【解题探究】1.题1中，如何利用“”这个条件？2.题2中，对f(x)如何变形，才能利用基本不等式？探究提示：1.因为所以2.【解析】1.因为x0,y0,且所以当且仅当即x=4,y=12时，等号成立.所以x+y的最小值为16.答案：162.因为x0,所以因为所以所以
4、00”改为“xR”，求f(x)的值域【解析】当x0时，同题2；当x0时，所以当且仅当x=-1时取等号.所以当x=0时，f(x)=0,所以-1f(x)1.即f(x)的值域为-1,1.【拓展提升】应用基本不等式求最值的方法与步骤(1)方法：看式子能否出现和(或积)为定值，若不出现，需对式子变形，凑出需要的定值；看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(-1)变为同正；利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足，则可取最值；若不满足，则可通过函数单调性或导数解决.(2)步骤.利用基本不等式求最值的一般步骤：【变式训练】已知x,y均为正数，且x+y=4，则的最小值为_【解析】因为x
5、,y均为正数，所以当且仅当即时取等号.又x+y=4，所以故的最小值为答案：类型 三 利用基本不等式证明不等式【典型例题】1.下列不等式中，正确的是()A.若xR，则B.若xR,则C.若xR，则D.若a,b为正实数，则2.已知a,b(0,+),且a+b=1,求证【解题探究】1.利用基本不等式的条件是什么？2.题2中由已知条件能不能求出ab的范围？探究提示：1.利用基本不等式的条件是“一正，二定，三相等”.2.因为当且仅当a=b时，等号成立，所以【解析】1.选C.A.若x1；D.2.因为a,b(0,+),且a+b=1,所以当且仅当a=b时，等号成立，所以所以【拓展提升】利用基本不等式证明不等式的方
6、法与技巧(1)用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明.(2)对含条件的不等式的证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出基本不等式，切忌两次使用基本不等式用传递性证明，有时等号不能同时取到.【变式训练】已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc.【证明】因为b2+c22bc,a0,所以a(b2+c2)2abc,同理，b(c2+a2)2abc,c(a2+b2)2abc.因为a,b,c不全相等，所以式中至少有一个式子
7、取不到等号，所以a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc.【易错误区】忽略等号成立的条件而致错【典例】已知则的最小值为_【解析】设t=sin x,则t(0,1,所以，所以所以在t(0,1上是减函数.所以当t=1时，ymin=3.答案：3【误区警示】【防范措施】基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值，必须满足“一正，二定，三相等”的条件：(1)一正：不等式成立的前提条件(2)二定：化不等式的一边为定值(3)三相等：必须存在取“”的条件，即“”成立以上三点缺一不可，本例就易忽略验证等号成立的条件，而导致结果错误【类题试解】(2013南京高二检测)已知则的最大值为_.【解析】因为所以cos x0,所以当且仅当时,即时取到等号,所以,答案：1.若a,bR,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是()A.a2+b22ab B.C.D.【解析】选D.对于A,当a=b时,有a2+b2=2ab,故A不正确;对于B,若a0,b0,y0,2x+y=1,所以当且仅当即时取等号.所以的最小值为答案：5.当时,函数的最小值为_.【解析】因为所以所以当且仅当即时，取“=”.答案：6.已知a，bR,|a|1,|b|1,证明：【证明】因为(当且仅当即a2+b2=1时取等号),(当且仅当即a2+b2=1时取等号),所以(当且仅当a2+b2=1时等号成立).
