1、课时作业10夹角的计算时间：45分钟基础巩固类一、选择题1在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为(D)A BC D解析：以点D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(0,1,2)，(2,2,0)，(0,1,2)，cos，异面直线DE与AC所成角的余弦值为.2已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0，1,1)，则两平面的夹角为(A)A45 B135C45或135 D90解析：cosm，n，即m，n135，两平
2、面的夹角为18013545.3若直线l的方向向量和平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面的夹角等于(C)A120 B60C30 D以上均错解析：直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，直线l与平面所成的角为120的补角60的余角30.4已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为(A)A30 B60C120 D150解析：设l与所成角为，cosm，n，又直线与平面所成角满足090，sin|.30.5已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(A)A. B.C. D.解析：设AB1，则AA12
3、，分别以、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如右图所示：则D1(0,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,1,2)，C(0,1,2)，D(0,0,2)，(1,1,0)，(0,1，2)，(0,1,0)设n(x，y，z)为平面BDC1的一个法向量，则即取n(2,2,1)设CD与平面BDC1所成角为，则sin|.故选A.6空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，的值是(D)A BC D0解析：如图设a，b，c，则a，ba，c，|b|c|.cos，0，故选D.7如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则平面CB
4、F与平面DBF夹角的正切值为(D)A. B.C. D.解析：设ACBDO，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设PAADAC1，则BD，B，F，C，D.，且为平面BDF的一个法向量由，可得平面BCF的一个法向量为n(1，)cosn，sinn，.tann，.8P是二面角AB棱上的一点，分别在，平面内引射线PM，PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么与的夹角大小为(D)A60 B70C80 D90解析：如图，设PMa，PNb，作MEAB，NFAB，则因BPMBPN45，故PE，PF.于是()()abcos60acos45bcos4
5、50.因为EM，FN分别是，内的与棱AB垂直的两条直线，所以与的夹角就是与的夹角二、填空题9若两个平面，的法向量分别是u(1,0,1)，v(1,1,0)，则这两个平面间的夹角的度数是60.解析：cosu，v.两个平面，间的夹角为60.10已知异面直线m，n的方向向量分别为a(2，1,1)，b(1，1)，若异面直线m，n所成角的余弦值为，则的值为.解析：由|cosa，b|，两边平方，化简得67，解得.11如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为.解析：不妨设正三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系
6、则C(0，0,0)，A(，1,0)，B1(，1,2)，D，则，(，1,2)，设平面B1DC的法向量为n(x，y,1)，由解得n(，1,1)又，sin|cos，n|.三、解答题12正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1的夹角解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0，0，a)，C1(a，a)方法1：取A1B1的中点M，则M(0，a)，连接AM，MC1，有(a，0,0)，(0，a,0)，(0,0，a)0，0，MC1平面ABB1A1.C1AM是AC1与侧面ABB1A1的夹角，(a，a)，(0，a)，02a2.又|a，|，
7、cos，.，30，即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30.方法2：(0，a,0)，(0,0，a)设侧面ABB1A1的法向量n(，x，y)，n0且n0，ax0且ay0，xy0，故n(，0,0)(a，a)，cos，n.设AC1与侧面ABB1A1的夹角为，则sin|cos，n|，30，即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30.13如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形(1)证明：O1O底面ABCD；(2)若CBA60，求二面角C1OB1D的余弦值解：(1)证明：四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等
8、，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1均为菱形ACBDO，A1C1B1D1O1，O，O1分别为BD，B1D1中点四边形ACC1A1和四边形BDD1B1为矩形，OO1CC1BB1且CC1AC，BB1BD，OO1BD，OO1AC，又ACBDO且AC，BD底面ABCD，OO1底面ABCD.(2)解法1：如图，过O1作B1O的垂线交B1O于点E，连接EO1，EC1.不妨设四棱柱ABCDA1B1C1D1的边长为2a.OO1底面ABCD且底面ABCD平面A1B1C1D1，OO1平面A1B1C1D1，又O1C1平面A1B1C1D1，O1C1OO1，四边形A1B1C1D1为菱形，O1C1O1B1，又O1C1
9、OO1且OO1O1C1O1，O1O，O1B1平面OB1D1，O1C1平面OB1D1，又B1O平面OB1D1，B1OO1C1，又B1OO1E且O1C1O1EO1，O1C1，O1E平面O1EC1，B1O平面O1EC1，O1EC1为二面角C1OB1D的平面角，cosO1EC1，CBA60且四边形ABCD为菱形，O1C1a，B1O1a，OO12a，B1Oa，则O1EB1O1sinO1B1OB1O1aa，再由O1EC1的勾股定理可得EC1a，则cosO1EC1，所以二面角C1OB1D的余弦值为.解法2：四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，四边形ABCD是菱形，ACBD，又O1O平面ABCD，
10、从而OB、OC、OO1两两垂直，以O为坐标原点，OB、OC、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，不妨设AB2，ABC60，OB，OC1，于是各相关点的坐标O(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)易知n1(0,1,0)为平面BDD1B1的一个法向量，设n2(x，y，z)是平面OB1C1的一个法向量，则即取z，则x2，y2，n2(2,2，)设二面角C1OB1D的大小为，易知为锐角，cos，二面角C1OB1D的余弦值为.能力提升类14如图，P是长方体ABCDABCD上底面内的一点，设AP与面AC、面AB、面AD所成的角分别为，则sin2sin2sin2(A)
11、A1 B2C. D不确定解析：设ADa，DCb，DDc，以点D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设P(x，y，c)，(xa，y，c)，易知(0,0，c)是面AC的一个法向量，(a,0,0)是面AB的一个法向量，(0，b,0)是面AD的一个法向量，sin2sin2sin2()2()2()21.15如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD，F为PC的中点，AFPB.求二面角BAFD的正弦值解：如图，连接BD交AC于点O，因为BCCD，即BCD为等腰三角形，又AC平分BCD，故ACBD，以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则OCCDcos1，ODCDsin，A(0，3,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)设P(0，3，z)，则F为(0，1，)又(0,2，)，(，3，z)，因AFPB，故0，即60，z2(舍去2)，所以F(0，1，)(，3,0)，(，3,0)，(0,2，)设平面FAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为n2(x2，y2，z2)，由n10，n10，得因此可取n1(3，2)，由n20，n20，得故可取n2(3，2)从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2.故二面角BAFD的正弦值为.
