1、 2020 年全国卷高考理数真题试卷（含答案）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合(,)|,Ax yx yyx*N，(,)|8Bx yxy，则 AB 中元素的个数为A2B3C4D62复数113i的虚部是A310B110C 110D 3103在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为1234,p ppp，且411iip，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A14230.1,0.4ppppB14230.4,0.1ppppC14230.2,0.3ppppD14230.3,0.2pppp4Logi
2、stic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t（t 的单位：天）的 Logistic 模型：0.23(53)()=1etKI t，其中 K 为最大确诊病例数当*()0.95I tK时，标志着已初步遏制疫情，则 t*约为(ln193)A60B63C66D695设 O 为坐标原点，直线 x=2 与抛物线 C：22(0)ypx p交于 D，E 两点，若ODOE，则 C 的焦点坐标为A 1(,0)4B 1(,0)2C(1,0)D(2,0)6已知向量 a，b 满足|5a，|6b，6 a b，则cos,=a abA3135B1935C
3、1735D 19357在ABC 中，cosC=23，AC=4，BC=3，则 cosB=A 19B 13C 12D 238下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A6+4 2B 4+4 2C6+2 3D 4+2 39已知 2tantan(+4)=7，则 tan=A2B1C1D210若直线 l 与曲线 y=x 和 x2+y2=15 都相切，则 l 的方程为Ay=2x+1By=2x+12Cy=12 x+1Dy=12 x+1211设双曲线 C：22221xyab（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为5 P 是 C 上一点，且F1PF2P若PF1F2 的面积为 4，则 a=A1B2
4、C4D812已知 5584，13485设 a=log53，b=log85，c=log138，则AabcBbacCbcaDca400空气质量好空气质量不好附：K2=2)n adbcab cdacbd，P（K2k）0.050 0.0100.001k3.841 6.635 10.828 19（12 分）如图，在长方体1111ABCDABC D中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DEED，12BFFB（1）证明：点1C 在平面 AEF 内；（2）若2AB，1AD ，13AA，求二面角1AEFA的正弦值20（12 分）已知椭圆222:1(05)25xyCmm的离心率为154，A，B 分别
5、为C 的左、右顶点（1）求C 的方程；（2）若点 P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且|BPBQ，BPBQ，求APQ的面积21（12 分）设函数3()f xxbxc，曲线()yf x在点(12，f(12)处的切线与 y 轴垂直（1）求 b（2）若()f x 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于 1（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为22223xttytt （t 为参数且 t1），C 与坐标轴交于 A
6、、B两点（1）求|AB；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程 23选修 45：不等式选讲（10 分）设 a，b，cR，0abc，1abc （1）证明：0abbcca；（2）用 max,a b c 表示 a，b，c 的最大值，证明：max,a b c 3 4 2020 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案选择题答案一、选择题1C2D3B4C5B6D7A8C9D10D11A12A非选择题答案二、填空题13714240 1523 16三、解答题17解：（1）235,7,aa猜想21,nan由已知可得1(23)3(21)nnanan，1(21
7、)3(21)nnanan，2153(3)aa.因为13a，所以21.nan（2）由（1）得 2(21)2nnnan，所以233 25272(21)2nnSn .从而234123 25 272(21)2nnSn .得2313 2222222(21)2nnnSn，所以1(21)22.nnSn18解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率的估计值如下表：空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1(10020300 3550045)350100（3）根据所给数据，可得 22列联表：人次400人次400空气质
8、量好3337空气质量不好228根据列联表得22100(33 822 37)5.82055 45 70 30K 由于5.8203.841，故有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关19解：设 ABa，ADb，1AAc，如图，以1C 为坐标原点，11C D 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系1Cxyz（1）连结1C F，则1(0,0,0)C，(,)A a b c，2(,0,)3E ac，1(0,)3Fbc，1(0,)3EAbc，11(0,)3C Fbc，得1EAC F因此1EA C F，即1,A E F C 四点共面，所以点1C 在平面 AEF 内（2）由已知得
9、(2,1,3)A，(2,0,2)E，(0,1,1)F，1(2,1,0)A，(0,1,1)AE ，(2,0,2)AF ，1(0,1,2)AE，1(2,0,1)AF 设1(,)x y zn为平面 AEF 的法向量，则110,0,AEAFnn即0,220,yzxz 可取1(1,1,1)n设2n 为平面1AEF 的法向量，则22110,0,A EA Fnn同理可取21(,2,1)2n因为1212127cos,|7 nnn nnn，所以二面角1AEFA的正弦值为42720解：（1）由题设可得2251554m，得22516m，所以C 的方程为221252516xy.（2）设(,),(6,)PPQP xyQ
10、y，根据对称性可设0Qy，由题意知0Py，由已知可得(5,0)B，直线 BP 的方程为1(5)Qyxy，所以2|1PQBPyy，2|1QBQy，因为|BPBQ，所以1Py ，将1Py 代入C 的方程，解得3Px 或 3.由直线 BP 的方程得2Qy 或 8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)PQPQ.11|10PQ，直线11PQ 的方程为13yx，点(5,0)A 到直线11PQ 的距离为102，故11APQ的面积为 110510222.22|130P Q，直线22PQ 的方程为71093yx，点 A 到直线22PQ 的距离为 13026，故22A
11、PQ的 面积为 113051302262.综上，APQ的面积为 52.21解：（1）2()3fxxb依题意得1()02f，即 304b.故34b （2）由（1）知3(3)4f xxxc，2()334fxx.令)0(fx，解得12x 或12x.()fx与()f x 的情况为：x1()2，121 1()2 2，121()2，+()fx+00+()f x14c 14c 因为11(1)()24ffc，所以当14c 时，()f x 只有大于1的零点.因为11(1)()24ffc，所以当14c 时，f（x）只有小于1的零点由题设可知1144c，当1=4c 时，()f x 只有两个零点12和1.当1=4c时
12、，()f x 只有两个零点1和 12.当1144c时，()f x 有三个等点x1，x2，x3，且11(1,)2x ，21 1(,)2 2x ，31(,1)2x 综上，若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，则()f x 所有零点的绝对值都不大于1.22解：（1）因为 t1，由220tt 得2t ，所以 C 与 y 轴的交点为（0，12）；由2230tt得 t=2，所以 C 与 x 轴的交点为(4,0)故|4 10AB（2）由（1）可知，直线 AB 的直角坐标方程为1412xy，将cossinxy，代入，得直线 AB 的极坐标方程3 cossin12023解：（1）由题设可知，a，b 均不为零，所以22221()()2abbccaabcabc2221()2 abc 0.（2）不妨设 maxa，b，c=a，因为1,()abcabc，所以 a0，b0，c0.由2()4bcbc，可得34aabc，故3 4a，所以3max,4a b c.