1、2.4.2 抛物线的简单几何性质基础巩固一、选择题1过抛物线y22px(p0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则AOB的大小()A小于90 B等于90C大于90 D不能确定答案C解析过抛物线焦点且垂直于x轴的弦AB为通径，其长度为2p，又顶点到通径的距离为，由三角函数知识可知，AOB大于90.2顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点(1，2)，则它的方程是()Ay2x2或y24xBy24x或x22yCx2yDy24x答案A解析抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，抛物线的方程为标准形式当抛物线的焦点在x轴上时，抛物线过点(1,2)，设抛物线的方程为y22px(p0)222p(1)
2、p2.抛物线的方程为y24x.当抛物线的焦点在y轴上时，抛物线过点(1,2)，设抛物线的方程为x22py(p0)(1)22p2，p.抛物线的方程为x2y.点评将点(1,2)的坐标代入检验，易知选A3已知P(8，a)在抛物线y24px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()A2 B4C8 D16答案B解析根据题意可知，P点到准线的距离为8p10，可得p2，所以焦点到准线的距离为2p4，选B4已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为()A B1C2 D4答案C解析本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系抛物线y22px(p0)的准线方程是x，由题意知
3、，34，p2.5已知F是抛物线y2x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A B1C D答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|BF|3得，x1x23，x1x2，线段AB的中点到y轴的距离为.6已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p()A1 BC2 D3答案C解析本题考查了双曲线、抛物线的几何性质与三角形面积2，b23a2，双曲线的两条渐近线方程为yx，不妨设A(，)，B(，)，则ABp，又三角形的高为，则SAOBp，即p2
4、4，又p0，p2.二、填空题7若点(a，b)是抛物线x22py(p0)上的一点，则下列点中一定在抛物线上的是_.(a，b)；(a，b)，(a，b)答案解析抛物线x22py关于y轴对称，点(a，b)关于y轴的对称点(a，b)一定在抛物线上8若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为_.答案(9，6)或(9,6)解析由抛物线方程y22px(p0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x，设点M到准线的距离为d，则d|MF|10，即(9)10，p2，故抛物线方程为y24x.将M(9，y)代入抛物线方程，得y6，M(9,6)或M(9，6)9(2015长春市调研)已
5、知F是抛物线y24x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，设|FA|FB|，则_.答案32解析抛物线y24x的焦点F(1,0)，过F斜率为1的直线方程为yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得x26x10，求得x132，x232，故由抛物线的定义可得32.三、解答题10一抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，一竹排上载有一宽4m，高6m的大木箱，问竹排能否安全通过？解析如图所示建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py，则有A(26，6.5)，设B(2，y)，由2622p(6.5)得p52，抛物线方程为x2104y.当x2时，4104y，y，6.56，能安
6、全通过一、选择题1直线ykx2交抛物线y28x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k()A2或2 B1C2 D3答案C解析由，得k2x24(k2)x40，则4，即k2.2双曲线1(mn0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn的值为()A BC D答案A解析由条件知，解得 .mn，故选A3等腰RtABO内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则ABO的面积是()A8p2 B4p2C2p2 Dp2答案B解析设点A在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OAOB知，直线OA的方程为yx.由得A(2p,2p)则B(2p，2p)，所以AB4p.所以SABO4p2p4
7、p2.4.过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则的值是()A12 B12C3 D3答案D解析设A(，y1)，B(，y2)，则(，y1)，(，y2)，则(，y1)(，y2)y1y2，又AB过焦点，则有y1y2p24，y1y243，故选D二、填空题5已知直线ya交抛物线yx2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_.答案a1解析本题考查了直角三角形的性质抛物线的范围以及恒成立问题，不妨设A(，a)，B(，a)，C(x0，x)，则(x0，ax)，(x0，ax)，ACB90.(x0，ax)(x0，ax)0.xa(ax)20，则xa0.(ax)(
8、ax1)0，ax10.xa1，又x0.a1.6P为抛物线yx2上一动点，直线l：yx1，则点P到直线l距离的最小值为_.答案解析设P(x0，x)为抛物线上的点，则P到直线yx1的距离d.当x0时，dmin.三、解答题7过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点若|AF|3，求|BF|的长解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|3及抛物线定义可得，x113，x12，A点坐标为(2,2)，则直线AB的斜率为k2.直线AB的方程为y2(x1)由消去y得，2x25x20，解得x12，x2.|BF|x21.8已知直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点(1)若
9、|AF|4，求点A的坐标；(2)求线段AB长度的最小值解析由y24x，得p2，其准线方程为x1，焦点F(1,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由抛物线的定义可知，|AF|x1，从而x1413.代入y24x，解得y12.点A的坐标为(3,2)或(3，2)(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)与抛物线方程联立，得消去y整理得，k2x2(2k24)xk20.直线与抛物线相交于A、B两点，则k0，并设其两根为x1、x2，x1x22.由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p44.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，2)，此时|AB|4，|AB|4，即线段AB长度的最小值为4.