1、函数图象一、高考要求 给出函数的解析式或由条件求出函数的解析式，判断函数的图象；给出函数的图象求解析式；给出含有参数的解析式和图象，求参数的值或范围；考查函数图的平移、对称和翻折；和数形结合有关问题等函数的图象是函数的直观体现,运用函数的图象研究函数的性质非常方便函数的图象正成为高考命题的热点之一二、两点解读 重点：已知解析式判断函数图象或已知图象判断解析式中参数的范围；函数图的平移、对称和翻折；从基本函数的图象变换到复合函数的图象等难点：利用函数性质识图；和数形结合有关问题二基础知识（一）、函数图象的三大基本问题1作图：函数图象是函数关系的直观表达形式，是研究函数的重要工具，是解决很多函数问
2、题的有力武器作函数图象有两种基本方法：描点法：其步骤是： 列表 (尤其注意特殊点，零点，最大值最小值，与坐标轴的交点)、 描点、 连线 图象变换法作函数图象的基本方法是： 讨论函数的定义域及函数的奇偶性和单调性； 考虑是否可由基本初等函数的图象变换作出图象； 准确描出关键的点线(如图象与x、y轴的交点，极值点(顶点)，对称轴，渐近线，等等).作函数图像的一般步骤是：（1）求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像画出所给函数的图像。2识图：对于给定的函数的图象，要能从图象的左
3、右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系 3用图：函数的图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法 （二）、图象变换的四种形式1平移变换有：水平平移：yf(xa)(a0)的图象，可由yf(x)的图象向 左或右 平移 a 个单位而得到竖直平移：yf(x)b(b0)的图象，可由yf(x)的图象向 上或下 平移 b 个单位而得到2对称变换主要有：yf(x)与yf(x)，yf(x)与yf(x)，yf(x)与yf(x)，yf1(x)与y
4、f(x)，每组中两个函数图象分别关于 y轴 、 x 轴 、 原点、 直线y=x 对称；若对定义域内的一切x均有f(xm)f(mx)，则yf(x)的图象关于 直线x=m 对称；yf(x)与y2bf(2ax)关于 点（a,b）成中心对称3伸缩变换主要有：yaf(x)(a0)的图象，可将yf(x)的图象上每点的纵坐标伸(a1时)缩(a0)的图象，可将yf(x)的图象上每点的横坐标伸(a1时)到原来的 .4翻折变换主要有：y|f(x)|，作出yf(x)的图象，将图象位于 的部分以 为对称轴翻折到 ；yf(|x|)，作出yf(x)在 右边的部分图象,以 为对称轴将其翻折到左边得yf(|x|)在 左边的部
5、分的图象（三）、图象对称性的证明及常见结论1图象对称性的证明证明函数图象的对称性，归结为任意点的对称性证明.即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上证明曲线与的对称性，即要证明上任一点关于对称中心(或对称轴)的对称点在上，反之亦然注意分清是一个函数自身是对称图形，还是两个不同的函数图象对称.2有关结论若f(ax)f(bx)，xR恒成立，则yf(x)的图象关于x 成轴对称图形；函数yf(ax)与函数yf(bx)的图象关于直线x (ba)对称；若函数f(x)关于xm及xn对称，则f(x)是周期函数，且 是它的一个周期；若f(xa) 对xR恒成立，则f(x)是周期函数，且
6、是它的一个周期三易错知识（一）、函数的平移变换1把yf(3x)的图象向_平移_个单位得到yf(3x1)图象答案：右（二）、函数的伸缩变换2将函数ylog3(x1)的图象上各点的横坐标缩小到原来的 ，再向右平移半个单位，所得图象的解析式为_答案：ylog3(2x2)（三）、函数的对称变换对于函数y|f(x)|与yf(|x|)一定要区分开来，前者将yf(x)处于x轴下方的图象，翻折到x轴上方，后者将yf(x)图象y轴左侧图象去掉作右侧关于y轴的对称图，后者是偶函数而前者y0.比如y|sinx|与ysin|x|.（四）、函数的对称性与周期性易混若函数yf(x)满足下列条件，则函数具有的性质为：f(x
7、)f(ax) ，则yf(x)关于x对称；f(x)f(ax) ，则yf(x)以 为周期；f(x)f(ax) ，则yf(x)关于点( )对称；f(x)f(ax) ，则yf(x)以 为周期3设函数yf(x)定义在实数集上，则函数yf(x1)与yf(1x)的图象关于()A直线y0对称B直线x0对称 C直线y1对称 D直线x1对称 解析：作为一选择题可采用如下两种解法：常规求解法和特殊函数法常规求解法：因为yf(x)，xR，而f(x1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的，又f(1x)f(x1)的图象是f(x)的图象也向右平移1个单位而得到的，因f(x)与f(x)的图象是关于y轴(即直线x0)
8、对称，因此，f(x1)与f(x1)的图象关于直线x1对称，故选D. 特殊函数法：令f(x)x，则f(x1)x1，f(1x)1x，两者图象关于x1对称，故否定A、B、C，选D.错误警示：因为函数是定义在实数集上且f(x1)f(1x)，所以函数yf(x)的图象关于直线x0对称，选B.这里的错误主要是把两个不同的对称问题混为一谈，即对称问题中有一结论：设函数yf(x)定义在实数集上，且f(ax)f(ax)，则函数f(x)关于直线xa对称这个结论只对于一个函数而言，而本题是关于两个不同函数的对称问题，若套用这一结论，必然会得到一个错误的答案答案：D四回归教材1函数y1 的图象是() 答案：B2把函数y
9、lnx的图象按向量a(2,3)平移得到yf(x)的图象，则f(x)()Aln(x2)3Bln(x2)3 Cln(x2)3 Dln(x2)3 3为了得到函数ylg的图象，只需把函数ylgx的图象上所有的点()A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 解析：由ylg 得ylg(x3)1，由ylgx图象上所有的点向左平移3个单位，得ylg(x3)的图象，再向下平移1个单位得ylg(x3)1的图象故选C. 答案：C 4函数f(x) x的图象关于()Ay轴对称
10、B直线yx对称 C坐标原点对称 D直线yx对称 解析：f(x) x， f(x)x(x)f(x)f(x)是一个奇函数f(x)的图象关于原点对称答案：C5已知，则函数的大致图象是() 五典例分析题型1 作图【例1】作出下列函数的大致图象：(1)y ； (2) y ； (3)y|log2x1|；(4)y2|x1|. 思路点拨首先将简单的复合函数化归为基本的初等函数，然后由基本初等函数图象变换得到解析(1)y ，利用二次函数的图象作出其图象，如图.(2)因y1 ，先作出y的图象，将其图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即得y的图象，如图.(3)先作出ylog2x的图象，再将其图象向下平移一个单位
11、，保留x轴上及x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y|log2x1|的图象，如图.(4)先作出y2x的图象，再将其图象在y轴左边的部分去掉，并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y2|x|的图象，再将y2|x|的图象向右平移一个单位，即得y2|x1|的图象，如图.方法技巧已知函数解析式研究函数图象问题，主要是将解析式进行恰当的化简，然后与一些熟知函数的图象相联系，通过各种图象变换得到要求的函数图象，此过程中，要善于发现函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等)，并用于作图中 温馨提示本题(2)、(3)、(4)在作平移变换时易在平移的方向上出错变式探究作出下列函数的大致图象：(
12、1)； （2） （3）解析：(1)作函数的图象关于x轴对称的图象得到的图象，再将图象向上平移2个单位，可得的图象如图1；(2)因为y3(x2)log33(x2)log3(x2)1. 所以可以先将函数ylog3x的图象向左平移2个单位，可得ylog3(x2)的图象，再作图象关于x轴的对称图象，得ylog3(x2)的图象，最后将图象向下平移1个单位，得ylog3(x2)1的图象，即为y 3(x2)的图象如图2；(3)作y的图象关于y轴对称的图象，得y的图象，再把x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得到y|l|的图象，如图3.题型2 识图【例2】函数yf(x)与函数yg(x)的图象如图则函数yf(x)g
13、(x)的图象可能是() 解析从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)g(x)是奇函数，排除B. 又x0时，g(x)为增函数且为正值，f(x)也是增函数，故f(x)g(x)为增函数，且正负取决于f(x)的正负，注意到x时，f(x)0，则f( )g()必等于0，排除C、D.或注意到x0(从小于0趋向于0)，f(x)g(x)，也可排除C、D. 答案A反思归纳要敏锐地从所给图象中找出诸如对称性、零点、升降趋势等决定函数走势的因素，进而结合选择填空题，作出合理取舍变式探究（1）下列四个函数中，图象如下图所示的只能是() AyxlgxByxlgx Cyxlgx Dyxlgx 解析
14、：特殊值法：当x1时，由图象知y0，而C、D中y0，而A中ylg 0，排除A，故选B. （2）设ab时，y0.由数轴穿根法，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有正确答案：21Oyx（3）已知函数的图象如右图所示,则 A B C D 题型3 函数的图像的对称变换【例3】(1)函数的图象与函数(其中a0且a1)的图象关于()A直线yx对称B直线yx1对称C直线yx1对称 D直线yx1对称 解析yax与ylogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称又y与分别是由与的图象向左平移1个单位而得到，与yloga(x1)的图象关于直线yx1对称故选C. (2)如果函数f(x1)是偶函数，那么函数yf
15、(2x)的图象的一条对称轴是直线()Ax1 Bx1 Cx Dx 解析yf(x1)右移一个单位得yf(x)的图象因此，yf(x)关于x1对称，yf(x)图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，得yf(2x)的图象，因此对称轴为x ，故选D. 答案D变式探究将函数的图象按向量a平移得到函数的图象，则()Aa(1，1) Ba(1，1) Ca(1,1) Da(1,1) 解析：向下平移1个单位，得，由向左平移1个单位得. 故向量a(1，1)答案：A变式探究设函数f(x)|x1|xa|的图象关于直线x1对称，则a的值为()A3B2 C1D1 解析：方法1：由题意可得对于xR，f(x1)f(1x)恒成立
16、，即|x2|x1a|x2|x1a|， |x2|x1a|x2|x1a|，1a2，得a3.故选A. 方法2：利用绝对值的几何意义，知f(x)是点x到1、a的距离之和，由于关于x1对称，因此，1与a关于x1对称，所以a3. 答案：A变式探究已知函数f(x)(a0且a1)(1)证明：函数yf(x)的图象关于点(，)对称；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值解：(1)证明：函数f(x)的定义域为R，任取一点(x，y)，它关于点(，)对称的点的坐标为(1x，1y)由已知，y，则1y1.,f(1x).1yf(1x)即函数yf(x)的图象关于点(，)对称(2)由(1)有1f(x)f(1
17、x)即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.则f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.题型4 用图【例4】设定义域为R的函数 f(x) ，则关于x的方程(x)bf(x)c0有7个不同实数解的充要条件是 ()Ab0 Bb0且c0 Cb0且c0 Db0且c0 命题意图本题主要考查利用图象判断解的个数问题，充要条件等知识分析通过数形结合法、筛选法获得正确答案 解析f(x)故函数f(x)的图象如图注意f(0)0有三个根0，1，2，且有f(x)0，令f(x)t0，则方程为btc0有实数解(t0)需满足：b0，即b0，c0，排除B、D，(因B项：c0
18、，D项b0)对于A不妨令b3，c2，则方程为3t20.解之1，2.即f(x)1，或f(x)2，由图知有8个根，排除A.故选C.实际上当b0.由f(x)b0，结合图象，此时有4个根，f(x)0有根为0,1,2.共7个 变式探究（1）f(x)是定义在区间c，c上的奇函数，其图象如下图所示令g(x)af(x)b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是()A若a0，则函数g(x)的图象关于原点对称B若a1,0b2，则方程g(x)0有大于2的实根C若a2，b0，则函数g(x)的图象关于y轴对称D若a0，b2，则方程g(x)0有三个实根 命题意图：本题主要考查函数图象、方程等综合知识的运用能力分析：认真读图
19、，从图中寻找突破口 解析：解法一：用淘汰法，当a0时，g(x)af(x)b是非奇非偶函数，不关于原点对称，淘汰A.当a2，b0时，g(x)2f(x)是奇函数，不关于y轴对称，淘汰C.当a0，b2时，因为g(x)af(x)baf(x)2，当g(x)0有af(x)20，f(x) ，从图中可以看到，当22时，f(x)才有三个实根，所以g(x)0也不一定有三个实根，淘汰D.故选B. 解法二：当a1,0b0，g(c)f(c)b2b0，所以当x(2，c)，必有g(x)0，故B正确 点评：本题属于读图题型解答读图题型的思维要点是：仔细观察图象所提供的一切信息，并和有关知识结合起来，全面判断与分析上述解法一为
20、淘汰法；解法二为直接法，两法均属于解选择题的通法（2）已知当x0时，函数yx2与函数的图象如图所示，则当x0时，不等式2xx21的解集是_解：在2xx21中，令xt，由x0得t0，2t(t)21，即t22t，由所给图象得2t4，2x4，解得4x2.答案：x|4x2（3）.若关于x的方程|-a=x至少有三个不相等的实数根,试求实数a的取值范围. 【解】 原方程变形为|=x+a,于是,设y=|,y=x+a,在同一坐标系下分别作出它们的图象如图,则当直线y=x+a过点(1,0)时a=-1; 当直线y=x+a与抛物线相切时, 由 0, 由a)=0,得 由图象知时方程至少有三个根. 规律方法提炼 1作图要准确、要抓住关键点：最高、低点，与坐标轴的交点、极值点等 2当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注意数形结合的数学思想方法的运用