1、第六节 函数模型及其应用一次函数、二次函数模型的应用某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即：一日中出租自行车的总收入，减去管理费用后的所得)(1)求函数yf(x)的解析式及其定义域；(2)试问：当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？分析 题意，当x6时，50辆自行车能全部租出，yf(x)为
2、一次函数模型；当x6时，先计算能够租出自行车的辆数，再计算净收入，最后求最大值解(1)当x6时，y50 x115，令50 x1150，解得x2.3.xN*，x3，3x6，xN*.当x6时，y503(x6)x115.令503(x6)x1150，有，上述不等式的整数解为2x20(xN*)，6185，当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多规律总结 上述自行车出租问题中，用到了两个函数模型，其一，为一次函数；其二，为二次函数在解决该类问题时，要切实注意定义域的表述变式训练1 某市原来的民用电价为0.52元/千瓦时，换装分时电表后，峰时段(早上8点至晚上21点)的电价为0.55元/千瓦
3、时谷时段(晚上21点至次日早上8点)的电价为0.35元/千瓦时对于一个平均每月用电量为200千瓦时的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，求这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为多少？【解析】设每月峰时段用电量为x千瓦时，则有(0.520.55)x(0.520.35)(200 x)2000.5210%，解得x1.18.这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为118千瓦时集合之间的关系某城市2010年有人口100万，年增长率为1.2%.(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)10年后，该城市人口达到多少万人？(参考数据：）分析 对于人口增长率的问题，可以通过计算每年的
4、人口总数与年份的关系来探寻规律，建立指数函数模型来解决解(1)1年后该城市人口总数为y1001001.2%100(11.2%)，2年后该城市人口总数为y100(11.2%)100(11.2%)1.2%规律总结实际问题中的人口增长、银行利率、细胞分裂、元素衰变等增长率问题，一般均选用指数函数模型，通常可用(N是基础数，p是增长率，x是时间)来表示变式训练 一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾
5、驶员，至少经过_小时才能开车(精确到1小时)【解析】设至少经过x小时驾驶员才能开车【答案】5利用集合之间的关系求参数的范围某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数Pf(x)的表达式分析 根据题意，每个零件的利润随订购量的多少而变化，所以要按订购量的范围不同，分别确定总利润的表达式，即分段表达，建立目标函数依据函数解析式
6、，对各个问题分别求解解(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为个.规律总结段函数是现实生活中最为常见的一种函数模型譬如，话费、个人所得税、出租车费等分段函数是一个函数，只不过自变量的取值不同，函数表达式不同而已构造函数模型时，要注意依据问题的实际意义准确分段，每段正确表述而且注意端点的归属变式训练 通过研究学生的行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和叙述问题所用的时间讲座开始时，学生的兴趣急增；中间有一段不太长的时间，学生的学习兴趣保持较理想的状态，随后学生的学习兴趣开始分散分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受知识的能力，x表示教师授课的时间(单位
7、：分钟)，f(x)与x之间的关系可以用下列公式表示：(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能持续多长时间？(2)一个数学难题，至少需要55的接受能力以及13分钟时间，教师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？【解析】(1)当0 x10时，故其递增，最大值为f(10)59；显然在16x30上，f(x)递减，f(x)59.因此开讲后10分钟达到最强的接受状态，并维持6分钟(2)当0 x10时，令f(x)55，得x6；当16x30时，令f(x)55，得；因此学生达到55的接受能力的时间为，故教师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲完此题1常见函数模型增长趋势的进一步理解(
8、1)直线模型：即一次函数模型，其增长特点是直线上升(x的系数k0)，通过图象可很直观地认识它(2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(a1)，常形象地称之为“指数爆炸”(3)对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长特点是开始阶段增长得较快(a1)，但随着x的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”(4)幂函数模型：能用幂函数形式表达的函数模型，其增长情况随xn中n的取值变化而定，常见的有一次函数模型、二次函数模型、正比例函数模型、反比例函数模型等(5)“对勾”函数模型：形如(a0，x0)的函数模型，在现
9、实生活中有着广泛的应用，常利用“基本不等式”求最值，有时也利用导数研究其单调性来求最值2解决函数应用问题的基本步骤(1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择数学模型；(2)建模：将文字语言、图形(或者数表)等转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义这些步骤用框图表示：某公司生产一种产品的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100件需要增加投入0.25万元，市场对此产品的需要量为500件，销售收入为函数，其中x是产品售出的数量(单位：百件)(1)把利润表示为当年产量的函数f(x)；(2)年产量是多少时，当年公司所得到的利润最大？错解错解分析 解答忽视了“市场对产品的需要量为500件”这一条件事实上，当产品生产量超过500件时，市场销售最多只能是500件，因此这时不能用表示收入，而是R(5)正解(1)利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R(x)与总成本C(x)之差，据题意，当x5时，产品能全部售出，当x5时，只能售出500台所以(2)当0 x5时，当x5(百台)时，y120.25510.75(万元)所以当生产475台时，利润最大
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