1、第六节 随机数与几何概型分析 由于C点是线段AB上的任意点，它落在AB上的哪个位置都是随机的，等可能的故此问题属于几何概型解 记A为事件“能构成三角形”，设线段AB的长为a，线段AC的长为x，则该问题的几何区域D是0，a，线段AC、CB、AM能构成三角形的条件是规律总结 一般地，求“几何概型”的概率的步骤为：第一步，根据题意恰当地设变量；第二步，找出该问题中几何区域D和事件A的几何区域d；第三步，分别求出D和d的测度；最后，根据“几何概型”的概率公式得到结果变式训练1在区间0,10中任取一个数，求满足下列条件的概率(1)它与8的和大于14.(2)它与5之差的绝对值大于或等于4.【解析】与角度有
2、关的几何概型如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直线顶点C在ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AMAC的概率分析 射线CM随机地落在ACB内部，在ACB内是等可能分布的，故ACB为所有试验结果构成的区域解规律总结 本题点M在AB上不是等可能分布，故测度不能用长度比，所以求概率时注意等可能情况的判断变式训练 在圆心角为90的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得AOC和BOC都不小于30的概率【解析】与面积(体积)有关的几何概型分析(1)为几何概型，区域为平面图形，所以用面积比求概率(2)为古典概型，运用古典概型公式求解解规律总结(1)首先判断概率类型，然后运用公式求解(2)数
3、对(x，y)的取值范围问题转化为直观的平面区域问题变式训练 假设一个直角三角形的两直角边都是0,1间的随机数，试求斜边长小于的事件的概率假设一个直角三角形的两直角边都是0,1间的随机数，试求斜边长小于的事件的概率【解析】新定义型问题(12分)(2010晋中模拟)设AB6，在线段AB上任取两点(端点A、B除外)将线段AB分成了三条线段(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率分析(1)为古典概型；(2)为几何概型可引入两个变量，寻求两个变量满足的条件，利用线性规划的知识求面积解(1)若分成的三条
4、线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是：1,1,4；1,2,3；2,2,2共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，6分规律总结(1)正确地判断两种概型(2)对于几何概型，根据题意列出条件，找出试验的全部结果构成的区域及所求事件构成的区域是解题的关键，这时常与线性规划问题联系在一起变式训练 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者等候另一个人一刻钟，过时即可离去求两人能会面的概率【解析】1几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，二者的共同点是基本事件是等可能的；不同点是基本事件数一个是有限的，一个是无限的对于几何概型基本事件可以抽象为点，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的测度成正比，而与该区域的位置和形状无关因为我们采用几何的办法求它的概率，因此这种概型叫做几何概型2求几何概型的概率，关键的一步是求事件A所包含的基本事件所占据的区域的测度；解决概率应用问题，关键是找出基本事件P(x，y)的约束条件，找出约束条件后，再类比线性规划作出可行域并求其面积3关于测度的计算目前只需知道线的测度就是其长度，平面图形的测度就是其面积，而立体图形的测度就是其体积，而圆周运动往往与角度有关错解错解分析正解
