2012高考数学总复习课件：第五单元 第四节 简单的三角恒等计算.ppt

1、第四节简单的三角恒等计算由三角变换求值或求角已知cos，cos()，且0.(1)求tan2的值；(2)求的值分析(1)先求sin，再求tan，最后由二倍角公式求tan2.(2)先求角的余弦值，再求角解(1)(2)由0，得0.又cos()，由()得，coscos()coscos()sinsin().规律总结 三角恒等变换是实现角与角，三角函数与三角函数，三角函数式之间转化的主要运算求值或求角正需要这种有效变化，因此，求值或求角的解题途径主要是，角的变化、函数名称的变化和三角函数式的变化变式训练1求的值【解析】由三角变换化简三角函数式已知tan，tan是方程x24x20的两个实根，化简：cos2(

2、)2sin()cos()3sin2()分析 先由已知条件找到角，满足的关系式，再根据该关系式与要化简式子的联系，实施恒等变换解 由已知，有tantan4，tantan2，规律总结 该题目是一个有条件的化简问题化简该三角函数式时，需要借助已知条件，因此，首先要根据已知条件，找到两个角的关系，发现两角和的正切可求由此想到，将已知式子向正切方向转化，最后使式子得以化简，而且求得值变式训练2化简【解析】由三角变换证明三角恒等式(1)求证：(2)已知5sin3sin(2)，求证：tan()4tan0 分析(1)两边分别切化弦，通过三角变换进行化简(2)从角入手，进行角的保值变换，出现欲证等式中的角，再由

3、三角变换进行化简证明(1)左边右边，原等式成立(2)把5sin3sin(2)化成5sin()3sin()，得5sin()cos5cos()sin3sin()cos3cos()sin，移项合并得2sin()cos8cos()sin0，tan()4tan0.规律总结(1)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一，或变更论证；(2)常用方法有：定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等；(3)条件恒等式的证明，需要充分依据已知条件，观察条件与结论中角、名称、次数的差异，从而选择不同的公式，进行三角变换变式训练3求证：【证明】三角恒等变换的综合应用(1

4、2分)已知正实数a，b满足求b/a的值分析 思路一，从方程的观点考虑，将等式左边的分子、分母同时除以a，则已知等式可化为关于 的方程，从而可求出.思路二，若注意到等式左边的分子、分母都具有asinbcos的结构，可考虑引入辅助角求解思路三，考虑两角和的正切的形式，引入辅助角解 方法一：由题设得4分8分12分方法二：3分6分由题设得8分12分方法三：原式可变形为：4分8分10分12分规律总结 上述解法中，方法一，利用了方程的思想，从方程中求得的 表达式，再由三角变换化至最简；方法二，分子分母分别应用了式子asinbcossin()和 acosbsincos()的形式；方法三，通过式子的恒等变形，

5、类比两角和的正切公式，进行角的代换，从而求得角，再求 的值由本例可以看出，三角恒等交换方法多样，要注意总结各方法的优点，熟练运用变式训练4已知xR，f(x)sin2x cos2x.(1)若0 x，求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)，求x的值【解析】f(x)sin2x cos2x sin2x cos2x sin2xcos2xsin .(1)0 x，当 2x，即 x时，f(x)为减函数，故f(x)的单调递减区间为(2)sin =，2x2k或2x2k，xk(kZ)或x k(kZ)1三角恒等变换的几种主要途径(1)角的变换：观察角之间的和、差、倍的关系，减少角的种类，化异角为同角(2)函数名的

6、变换：观察、比较题设与结论之间，等号的左右两边的函数名的差异，化异名为同名(3)常数的变换：常用的方式有1sin2cos2tan ，sin 等(4)次数的变化：常用方式是升次或降次，主要公式是二倍角的余弦公式及其变形(5)结构变化：对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变除为乘，或求差等2三角函数式的化简方法(1)直接应用公式进行降次、消项；(2)切化弦，异名化同名，异角化同角；(3)三角公式的逆用等3三角函数的求值类型(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题(2)给值求值：给出某些角的三角函

7、数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如()，2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论(3)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角4三角等式的证明(1)三角恒等式的证题思路根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”(2)三角条件等式的证题思路通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明5形如yasinxbcosx的函数，先转化为ysin()(其中)的形式，再研究性质已知，且tan，tan是方程x23 x40的两个根，则的值为()A.或BC或D错解tan，tan是方程x23 x40的两个根，tan()，(，)，在(，)内正切值等于的角只有和，或.错解分析没有对条件进行深入地分析，扩大了的取值范围事实上，由tantan3 0，tantan40，可知tan0，tan0，(，0)正解tan，tan是方程x23 x40的两个根，tan0，tan0.，(，0)又tan()在(，0)内，正切值等于 的角只有，.