1、文科数学试卷 第 1 页（共 4 页）20LK4QG 秘密考试结束前 考试时间：2020 年 4 月 2 日 15:0017:00 全国大联考 2020 届高三 4 月联考 文科数学试卷注意事项：1考试前，请务必将考生的个人信息准确的输入在正确的位置。2考试时间 120 分钟，满分 150 分。3本次考试为在线联考，为了自己及他人，请独立完成此试卷，切勿翻阅或查找资料。4考试结束后，本次考试原卷及参考答案将在网上公布。5本卷考查内容：高考全部内容。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.不等式成立的充分不必要条件是
2、A.B.C.或 D.或 2.复数 z=1+2i 的共轭复数是，则 z=A.3 B.3 C.5 D.53.甲乙两名同学高三以来 6 次数学模拟考试的成绩统计如下图 1，甲乙两组数据的平均数分别为甲x、乙x，标准差分别为甲、乙，则A.乙甲乙甲，xxB.乙甲乙甲，xxC.乙甲乙甲，xxD.乙甲乙甲，xx4.设 m,n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，由下列四个命题，其中正确的是A.若 m，mn，则 nB.若 m，n，则 mnC.若，m，则 mD.若 m，m，则 5.九章算术中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆颈”.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求球的
3、直径 d 的公式：d=(169 V)13.若球的半径为 r=1，根据“开立圆术”的方法计算该球的体积为A.43 B.916 C.94 D.92 6若需右边框图输出的值 S=41，则判断框内应填入的条件是Ak3？Bk4？Ck5？Dk6？7.已知2133311,log34abc=，则cba,的大小关系为A.abc B.acb C.cab D.cba011 x1x1x1x10 x10 x 1x文科数学试卷 第 2 页（共 4 页）20LK4QG 8.下列各图都是正方体的表面展开图，将其还原成正方体后，所得正方体完全一致（即各面所标序号相对位置相同）的是A.(I)和(IV)B.(I)和(III)C.(
4、II)和(III)D.(II)和(IV)9.在长为12 cm 的线段 AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC,CB 的长，则该矩形面积大于220cm 的概率为A.16 B.13 C.45 D.2310.双曲线的左，右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作一条直线与两条渐近线分别相交于 A，B 两点，若，则该双曲线的离心率为AB C2D311.已知直线 x=t 分别与函数 f(x)=log2(x+1)和 g(x)=2log2(x+2)的图象交于 P，Q 两点，则P，Q 两点间的最小距离为A.4 B.1 C.D.212.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x)，且对
5、任意的不相等的实数 x1，x20,+)有f(x1)-f(x2)x1-x20 成立，若关于 x 的不等式 f(2mx-lnx-3)2f(3)-f(-2mx+lnx+3)在 x1,3恒成立，则实数 m 的取值范围是A.12,1+ln 36 B.1,2+ln 63 C.1,2+ln 33 D.12,1+ln 66 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.某班级有 50 名学生，现采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名，将这 50 名学生随机编号 150 号，并分组，第一组 15 号，第二组 610 号，第十组 4650 号，若在第三组中抽得号码为 12 号的
6、学生，则在第八组中抽得号码为_的学生.14.某公司计划在 2020 年春季校园双选招聘会招收 x 名女性，y 名男性，若 x,y 满足约束条件2526xyxyx，则该公司计划在本次校招所招收人数的最大值为_.15.已知()f x 是定义在 R 上的偶函数，对任意 xR 都有(3)()f xf x+=且(1)4f=，则的值为_.()0,01:2222=babyaxEAFBF112=OBFF221=232文科数学试卷 第 3 页（共 4 页）20LK4QG 16.过抛物线C：22xpy=（0p）的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点，若4 AFBF=，O 为坐标原点，则 AFOF=_.三、解
7、答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：（共 60 分）17.（12 分）在ABC中,角,A B C 的对边分别为,a b c,且 sin3 coscAaC=.（1）求角 C 的值;（2）若2 3ABCS=,6ab+=,求 c 的值.18.（12 分）汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物(HC)等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强
8、制报废某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了 100 人，所得数据制成如下列联表：（1）若从这 100 人中任选 1 人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为 0.6，问是否有 95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？（2）该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中 CO 浓度的数据，并制成如图 7 所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过 15 年，可近似认为排放的尾气中 CO 浓度 y%与使用年限 t 线性相关，试确定 y 关于 t 的回归方程，并预测该型号的汽车使用 12 年排放尾气中的 CO 浓度是使用 4 年的多少倍附：
9、K2=(nabcd)P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：.19.（12 分）如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长 2 的菱形,=60.已知.PB=PD=2,PA=62()()()()()n adbcab cd ac bd+12211niiinix ynxybaybxxnx=，不了解了解总计女性ab50男性153550总计pq100文科数学试卷 第 4 页（共 4 页）20LK4QG（1）证明:PCBD（2）若 E 为
10、 PA 的中点，求三棱锥 P-BCE 的体积.20.（12 分）设12,F F 分别是椭圆222:14xyEb+=的左、右焦点,若 P 是该椭圆上的一个动点,1PF 2PF 的最大值为1.（1）求椭圆 E 的方程;（2）设直线:1l xky=与椭圆交于不同的两点,?A B,且AOB为锐角(其中O 为坐标原点),求 k 的取值范围.21.（12 分）设*nN,函数()lnnxf xx=,函数()()0 xneg xxx=.（1）当1n=时,求函数()yf x=的零点个数;（2）若函数()yf x=与函数()yg x=的图象分别位于直线1y=的两侧，求 n 的取值集合A;（3）对于()12,0,n
11、Ax x+,求()()12f xg x的最小值.（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为12312xtyt=(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为2sinp=（1）判断直线l 与圆C 的交点个数（2）若圆C 与直线l 交于,A B 两点,求线段 AB 的长度 23.【选修 4-5:不等式选讲】（12 分）已知函数()53f xxx=+.（1）解不等式()1f xx+;（2）记函数f()x
12、 的最大值为m,若0,0,ab44abab meee=,求ab 的最小值.文科数学参考答案 第 1 页（共 7 页）20LK4QG 秘密考试结束前 考试时间：2020 年 4 月 2 日 15:0017:00 全国大联考 2020 届高三 4 月联考 文科数学参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.题号 123456789101112答案 ACCCDBDBDCDA二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 1337 1413 154 16 54 12.【解析】因为定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x)，所以函数 f(x)为偶函数
13、，因为对任意的不相等的实数 x1,x20,+)，有f(x1)-f(x2)x1-x20 成立，所以当 x1x2 时，f(x1)f(x2)，即函数 f(x)在0,+)单调递减，又函数 f(x)为偶函数，所以函数 f(x)在(-,0单调递增，因为 x 的不等式 f(2mx-lnx-3)2f(3)-f(-2mx+lnx+3)在 x1,3恒成立，不等式可转化为 f(2mx lnx-3)+f(2mx-lnx-3)2f(3)即 f(2mx-lnx-3)f(3)在 x1,3恒成立，所以|2mx-lnx-3|3所以-32mx-lnx-33即ln x2x ln x+62x 在 x1,3恒成立，在 x1,3上，令
14、g(x)=ln x2x ，g(x)=1-ln x2x2 令 g(x)0，ln x1，xe，g(x)单调递减，令 g(x)0，ln x1，xe，g(x)单调递增，g(x)max=g(e)=12e 文科数学参考答案 第 2 页（共 7 页）20LK4QG 令 h(x)=1-ln x2x2 h(x)=1-(ln x+6)2x2=-ln x-52x2在 x1,3上，h(x)0,h(x)单调递减g(x)min=h(3)=6+ln 36=1+ln 36所以实数 m 的取值范围是12,1+ln 36 16.【解析】由题意得22xpy=，则(0,)2pF，所以2pOF=，设直线 AB 的方程为2pykx=+，
15、设11(,)A x y，22(,)B xy，且12xx，因为 4 AFBF=，所以 4AFBF=，则214xx=，由222pykxxpy=+=，整理得2220 xpkxp=，所以122xxpk+=，212x xp=，联立可得34k=，即直线 AB 的方程为342pyx=+，又23422pyxxpy=+=，整理得222320 xpxp+=，解得2xp=或2px=，故(,)28ppA，(2,2)Bpp，所以根据抛物线的定义可知5828ppAFp=+=，所以54AFOF=.三、解答题：（本大题共 5 小题，满分 60 分.）17.（12 分）解:（1）在ABC中,sin3 coscAaC=,结合正弦
16、定理得sinsin3sincosCAAC=,0A,sin0A,sin3cosCC=,又sin0C,tan3C=,3C=.（2）2 3ABCS=,3C=,文科数学参考答案 第 3 页（共 7 页）20LK4QG 1sin2 32 abC=,8ab=,又6ab+=,2222coscababC=+()222cosabababC=+36 16 812=.2 3c=.18.（12 分）解：（1）设“从 100 人中任选 1 人，选到了解机动车强制报废标准的人”为事件 A，由已知得 P(A)，所以 a25，b25，p40，q60.K2 的观测值 k4.1673.841，故有 95%的把握认为“对机动车强制
17、报废标准是否了解与性别有关”.（2）由折线图中所给数据计算，得 t(246810)6，y(0.20.20.40.60.7)0.42，故0.07，0.420.0760,所以所求回归方程为0.07t.故预测该型号的汽车使用 12 年排放尾气中的 CO 浓度为 0.84%，因为使用 4 年排放尾气中的 CO 浓度为 0.2%，所以预测该型号的汽车使用 12 年排放尾气中的 CO 浓度是使用 4年的 4.2 倍.19.（12 分）（1）证明：连接 BD,AC 交于 O 点 PBPD=POBD 又 ABCD 是菱形 BDAC 而 ACPOO=BD面 PAC BD PC （2）由（1）得 BD 面 PAC
18、 35100b+352100(25 3525 15)40 60 50 501515b2.840ay 文科数学参考答案 第 4 页（共 7 页）20LK4QG=45sin3262121PACPECSS=32236=111132322P BECB PECPECVVSBO=20.（12 分）解:（1）由题易知2?a=,24cb=,24b,所以()214,0Fb,()224,0Fb,设(),P x y,则()2124,PF PFbxy=()2222222222224,4412444b xbbxyxybxbbxb=+=+=+,因为2,2x,故当2x,即点 P 为椭圆长轴端点时,12PF PF有最大值1,
19、即22114244bb=+,解得21b=,故所求的椭圆方程为2214xy+=。（2）设()11,A x y,()22,B xy,由1113xe,得12224kyyk+=+,12234yyk=+,()()222212 416480kkk=+=+,因为AOB为锐角,所以 cos0AOB,所以12120OA OBx xy y=+,又()()21212121211x xy yky yk yy+=+()2222321144kkkk=+222233244kkkk+=+221404kk=+,所以214k,解得1122k,文科数学参考答案 第 5 页（共 7 页）20LK4QG 所以 k 的取值范围是1 1,
20、2 2。21.（12 分）解:（1）当1n=时,()()()2ln1ln,0 xxf xfxxxx=.由()0fx 得0 xe;由()0fx 得 xe.所以函数()f x在()0,e 上单调递增,在(),e+上单调递减,因为()110,0f efeee=,所以函数()f x在()0,e 上存在一个零点;当()0,x+时,()ln0 xf xx=恒成立,所以函数()f x在(),e+上不存在零点.综上得函数()f x在()0,?+上存在唯一一个零点.（3）由函数()lnnxf xx=求导,得()()11ln0nnxfxxx+=,由()0fx,得10nxe;由()0fx,得1nxe,所以函数()f
21、 x在10,ne上单调递增,在1,ne+上单调递减,则当1nxe=时,函数()f x有最大值()1max1nf xfene=;由函数()()0 xneg xxx=求导,得()()()10 xnxn egxxx+=,由()0gx 得 xn;由()0fx 得0 xn.所以函数()g x 在(0,)n 上单调递减,在().n+上单调递增,则当 xn=时,函数()g x 有最小值()()minneg xg nn=;因为*nN,函数()f x的最大值111nfene=,即函数()lnnxf xx=在直线1y=的下方,文科数学参考答案 第 6 页（共 7 页）20LK4QG 故函数()()0 xneg x
22、xx=在直线:1l y=的上方,所以()()min1neg xg nn=,解得ne.所以n 的取值集合为1,2A=.（3）对()()()12120,x xf xg x+的最小值等价于()()minmax1neg xf xnne=,当1n=时,()()minmax1g xf xee=;当2n=时,()()2minmax142eg xf xe=;因为()2242110424eeeeeee=,所以()()12f xg x的最小值为2312424eeee=（二）选考题（10 分）22.（12 分）解:（1）直线l 的参数方程为12312xtyt=(t 为参数).消去参数t 得直线l 的普通方程为 31
23、0 xy+=,圆C 的极坐标方程为2sinp=,即22 sinpp=,由222,sinpxypy=+=,得圆C 的直角坐标方程为2220 xyy+=.圆心()0,1 在直线l 上,直线l 与圆C 的交点个数为2（2）由（1）知圆心()0,1 在直线l 上,AB 为圆C 的直径,圆C 的直角坐标方程为2220 xyy+=.文科数学参考答案 第 7 页（共 7 页）20LK4QG 圆C 的半径1412r=,圆C 的直径为2,2AB=23.（12 分）解:（1）当3x 时,由531xxx+,得7x,所以3x ;当 35x 时,由531xxx +,得13x,所以133x;当5x 时,由531xxx +,得9x ,无解.综上可知,13x,即不等式()1f xx+的解集为1,3.（2）因为53538xxxx+=,所以函数()f x 的最大值8m=.应为448ababeee=,所以448abab+=+.又0,0ab,所以42 44ababab+=,所以有20abab,又0ab,所以2ab,4ab,即ab 的最小值为 4