1、第五节 直线、平面垂直的判定及其性质线线垂直的证明及应用如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，ABBC，D、E分别为的中点，证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线分析证明ED和BB1、AC1同时垂直先由平面几何知识证明BOAC，再证明BO平面ACC1A1，即ED平面ACC1A1.证明规律总结线线垂直的证明，可以有许多途径：其一，利用某一平面上平面几何的关系；其二，利用线面垂直的性质；其三，利用面面垂直的性质等变式训练1 如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，对角线ACBDa且它们所成的角为30.(1)求证：EGHF，(2)求四边形EFGH的面
2、积【解析】线面垂直的判定与性质已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：MNCD；(2)若PDA45，求证：MN平面PCD.分析(1)因为M为AB的中点，所以只要证ANB为等腰三角形，则利用等腰三角形的性质可得MNAB，即MNCD.(2)已知MNCD，只需再证MNPC，易看出PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可得MNPC，则可得MN平面PCD.证明规律总结线面垂直问题的证明，其一般规律是“由已知联想性质，由求证联想判定”，即根据已知条件去思考有关线面垂直的性质定理，根据欲证的结论去思考有关线面垂直的判定定理，往往需要将分析与综合进行结合，寻找已知条件和欲证目标
3、间的联系变式训练如图所示，已知ABD和ACD都是以D为直角顶点的直角三角形，且ADBDCD，BAC60.(1)求证：BD平面ADC；(2)若H是ABC的垂心，求证：H是D在平面ABC内的射影【证明】(1)ADBADC90，DADBDC，ABAC，又BAC60，ABC为正三角形，ABBCAC，ABDCBD，ADBBDC90，BDDC，又BDAD，BDADD，BD面ADC.(2)H为ABC的垂心，AHBC于M，连接DM，如图所示ADDB，ADDC，AD平面BDC，ADBC，BC平面ADM，BCDH.同理，DHAB.DH面ABC，H为D在平面ABC内的射影 面面垂直的判定与性质如图所示，过S引三条长
4、度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且ASBASC60，BSC90，求证：平面ABC平面BSC.分析取BC的中点O，连接AO、SO，既可证明AO平面BSC，又可证明SO平面ABC.或证明二面角的平面角为直角证明规律总结面面垂直的证明问题，主要思路有两条：其一，用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；其二，用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题变式训练(2010辽宁高考)如图所示，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B.(1)证明：平面AB1C平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的
5、点，且A1B平面B1CD，求A1DDC1的值【解析】(1)证明：侧面BCC1B1是菱形，B1CBC1.又已知B1CA1B，且A1BBC1B，B1C平面A1BC1.又B1C平面AB1C，平面AB1C平面A1BC1.(2)如图，设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线A1B平面B1CD，A1BDE.又E是BC1的中点，D是A1C1的中点，即A1DDC11.垂直关系的应用(12分)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AB2，BCa，又侧棱PA底面ABCD.(1)当a为何值时，BD平面PAC？试证明你的结论；(2)当a4时，求证：BC边上存在一点M，使得PMD
6、M；(3)若在BC边上至少存在一点M，使PMDM，求a的取值范围分析(1)寻求BD平面PAC的条件，即BD垂直平面PAC内两条相交直线，易知BDPA，问题归结为a为何值时，BDAC，从而知ABCD为正方形(2)若PMDM，易知DM面PAM，得DMAM，由AB2，a4知，M为BC的中点时得两个全等的正方形，满足DMAM.(1)当a2时，四边形ABCD为正方形，则BDAC，2分PA底面ABCD，BD平面ABCD，BDPA，又PAACA，3分BD平面PAC.故当a2时，BD平面PAC.4分(2)证明：当a4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连接AM、DM、MN，如图.5分四边形ABMN和四边形D
7、CMN都是正方形，6分AMDAMNDMN454590，7分即DMAM.又PA底面ABCD，PADM，DM平面PAM，PMDM，9分故当a4时，有BC边的中点M使PMDM.(3)设M是BC边上符合题设的点M，PA底面ABCD，DMAM，11分M点应是以AD为直径的圆和BC边的交点，则AD2AB，即a4为所求.12分规律总结无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线线垂直在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的桥梁变式训练(2010济南3月模拟)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，过BD1的平面分别交棱AA1、
8、CC1于E、F两点(1)求证：A1ECF；(2)若E、F分别是棱AA1、CC1的中点，求证：平面EBFD1平面BB1D1D.【证明】(1)由题意知，平面EBFD1与平面BCC1B1交于BF，与平面ADD1A1交于ED1.又平面BCC1B1平面ADD1A1，BFED1，同理BED1F，四边形EBFD1为平行四边形，D1EBF.A1D1CB，D1EBF，D1A1EBCF90，RtA1D1ERtCBF，A1ECF.(2)AEA1EFCFC1，ABBC，RtEABRtFCB，BEBF，又四边形EBFD1是平行四边形，故四边形EBFD1为菱形连接EF、BD1、A1C1，则EFBD1.在正方体ABCDA1
9、B1C1D1中，有B1D1A1C1，B1D1A1A，B1D1平面A1ACC1.又EF平面A1ACC1，EFB1D1.又B1D1BD1D1，EF平面BB1D1D.又EF平面EBFD1，平面EBFD1平面BB1D1D.1证明空间线面垂直的思维策略(1)由已知联想性质，由求证寻找判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是常用方法(3)正确选择判定定理和性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论2垂直关系的相互转化线线垂直线面垂直面面垂直3证明或判断线面垂直的常见方法(1)利用线面垂直的判定定理此种方法要注意平面内的两条直线必须相交(2)利用线线平
10、行的性质两平行线中一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面(3)利用面面垂直的性质两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(4)利用面面平行的性质一条直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个平面4证明或判断面面垂直的常用方法(1)求证二面角是直二面角(2)利用面面垂直的判定定理(3)两个平行平面中，有一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的底面为正三角形，侧棱B1B和C1C上分别有点D，E，且EC2DB.求证：平面ADE平面ACC1A1.错解错解分析在上述证明中，凭空作出DNBM，交EA于N，则N为AE 的中点，无依据，也没有说明直线DN在平面ADE中，因此，推理基础不够充分，故证明错误正解
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