1、第四节 数列的通项基础梳理1.数列的通项公式：如果数列an的_之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式第n项与它的序号n2.数列的递推公式：如果已知数列an的首项(或者前几项)，且任意一项an与an1(或其前面的项)之间的关系可以_，那么这个公式就叫做数列的递推公式它是数列的一种表示法用一个公式来表示3.求通项公式的常用方法：(1)观察法；(2)定义法；(3)迭加法(又称累加法、逐差相加法)；(4)迭乘法(又称累乘法、逐商相乘法)；(5)其他方法(如观察、猜想、证明法等)基础达标1.数列an满足an1ann，且a11，则a5_.解析：a5a44a334a2234a11
2、23411.2.已知数列1，则是数列中的第_项解析：因为3 ，即为数列中的(n13)，所以3 是数列中的第26项3.(2011扬州中学模拟)若数列an的通项公式an记f(n)2(1a1)(1a2)(1an)，通过计算f(1)、f(2)、f(3)的值，可推测f(n)_.解析：a1故f(1)f(2)f(3)故推测f(n)4.已知数列an中，a12，an1则数列an的通项公式为_an，nN*，解析：由已知条件得a12，an1an，nN*，即当n2时，以上n1个等式相乘，得即anna1，a12，an2n，又当n1时a12，适合上式，an2n(nN*)经典例题题型一 定义法求通项公式【例1】已知在数列a
3、n中，a10，an12an2n(nN*)，求数列an的通项公式分析 两边同除以2n1，然后变形化简，得通项解：由an12an2n(nN*)，两边都除以2n1，得即又a10，0，数列是以0为首项，公差为的等差数列，变式11(2010全国改编)已知数列an中，a11，an1c 设cbn求数列bn的通项公式 解析：由已知有an12bn14bn2，bn1是一个首项为公比为4的等比数列bn4n1，即bn4n1.题型二 累加法、累乘法求通项公式【例2】根据下列条件，写出数列的通项公式(1)a12，an1ann；(2)a11,2n1anan1.分析(1)将递推关系写成n1个等式累加(2)将递推关系写成n1个
4、等式累乘，或逐项迭代也可解：(1)当n1,2,3，n1时，可得n1个等式anan1n1，an1an2n2，a2a11，将其相加，得ana1123(n1)ana12(2)方法一：an方法二：由2n1anan1，得 ann1an1，变式21 根据下列数列an的首项和基本关系式，分别求其通项公式(1)a11，anan13n1(n2)；(2)a11，anan1(n2)解析：(1)anan13n1(n2)，an1an23n2，an2an33n3，a2a131.以上n1个式子相加，得ana131323n113323n1又当n1时，a11也适合上式，an(2)anan1(n2)，an1an2，an2an3，
5、a2a1.以上n1个式子相乘，得ana1.又当n1时，a11也适合上式，an.题型三 一阶递推公式求通项【例3】设数列an中，a14，an3an12n1(n2)，求an.分析 对于一阶递推式an1panf(n)求通项，可考虑变形为an1g(n1)pang(n)，构造等比数列bn(bnang(n)来求解解：设bnanAnB，则anbnAnB，将an，an1代入递推式，得bnAnB3bn1A(n1)B2n13bn1(3A2)n(3B3A1)，则bn3bn1，又b16，故bn63n123n，代入得an23nn1(nN*)变式31 已知在数列an中，a15，an12an3(nN*)，求数列an的通项公
6、式解析：不妨设an12(an)，展开得an12an，与an12an3比较，得3，an132(an3)，又a15，an3是以a138为首项，2为公比的等比数列an382n1，an2n23(nN*)链接高考(2010辽宁)已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为_知识准备：1.会用由递推公式an1an2n求通项公式的方法(累加法)；2.求n1的最小值，可选基本不等式、函数图象、导数等作为工具求解；3.要注意nN*的要求解析：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1212(n1)3333n2n，所以n1.设f(x)x1，则f(n)；又f(x)1，由f(x)0可解得f(x)在上是递增的，由f(x)0可解得f(x)在上是递减的；因为nN*，所以当n5 或6时f(n)有最小值；又因为所以的最小值为
