1、第二节平面向量的基本定理及坐标表示1.两个向量的夹角(1)定义已知两个向量a和b,作OA=a,OB=b,则AOB=叫做向量a与b的夹角.(2)范围向量夹角的范围是,a与b同向时,夹角=;a与b反向时,夹角=.基础梳理非零0180 0180(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是,则a与b垂直,记作.90 ab2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数1、2,使a=.其中,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示在
2、平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x、y,使a=xi+yj.把有序数对叫做向量a的坐标,记作a=,其中叫a在x轴上的坐标,叫a在y轴上的坐标.设OA=xi+yj,则就是终点A的坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标为,反之亦成立(O是坐标原点).不共线有且只有1e1+2e2不共线的向量e1,e2互相垂直(x,y)(x,y)x y 向量OA的坐标(x,y)(x,y)3.平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算(x2,y2)(x1,y1)坐标aa-ba+bba向量(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)
3、(x1,y1)(2)向量坐标的求法终点始点已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量的坐标减去的坐标.x1y2-x2y1=0b(3)平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与b共线a=1.(原创题)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则向量2a+3b-c的坐标为()A.(-3,4)B.(3,4)C.(1,5)D.(3,-5)基础达标A 解析：2a3b c2(1,1)3(1,1)(4,2)(2,2)(3,3)(2,1)(232,231)(3,4)2.(教材改编题)如图所示，在AB
4、C中，D为BC的中点，设AB=a,AC=b,则AD可用a,b表示为.a+b3.在正三角形ABC中，AB与BC的夹角为.120 2.解析：3.解析：在正三角形ABC中，B60，与的夹角为60，与的夹角为18060120.4.(2011聊城模拟)已知向量a=(3,4),b=(sin,cos),且ab，则tan=.5.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB=(2,4),AC=(1,3)，则BD=()A.(-2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4)B 4.解析：由题意得，tan 5.解析：由题意得(1,3)2(2,4)(3，5)经典例题题型一平面向量基本定理【例1】(2010
5、株洲模拟)在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点,则MN=.解：MN=MC+CN=AD-AC=b-(a+b)=-a+b.变式1-1如图,PQ过ABO的重心G,OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,试求的值.解：G是ABO的重心,OG=OC=(OA+OB)=(a+b),GP=OP-OG=ma-(a+b)=（m-）a-b,GQ=OQ-OG=nb-(a+b)=-a+（n-）b,又GPGQ,（m-）（n-）=,(m+n)=mn,即=3.题型二平面向量的坐标运算【例2】已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP=OA+tAB,试问:(1)当t为何
6、值时,P在x轴上?P在第二象限?(2)四边形OABP能否构成平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.解：(1)O(0,0),A(1,2),B(4,5),OA=(1,2),AB=(3,3),OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t).若P在x轴上,则2+3t=0,解得t=-;若P在第二象限,则解得-t-.(2)OA=(1,2),PB=PO+OB=(3-3t,3-3t),若四边形OABP为平行四边形,则OA=PB,而无解,四边形OABP不能构成平行四边形.变式2-1已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM=3CA,CN=2CB,求M、N及MN的坐标.解：A(-2,
7、4),B(3,-1),C(-3,-4),CA=(1,8),CB=(6,3),CM=3CA=(3,24),CN=2CB=(12,6).设M(x,y),则CM=(x+3,y+4)=(3,24),M(0,20).同理可求N(9,2),因此MN=(9,-18).综上,M(0,20),N(9,2),MN=(9,-18).题型三平面向量共线的坐标表示【例3】(2011大连模拟)平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2)，c=(4,1),回答下列问题：（1）求满足a=mb+nc的实数m,n；（2）当k为何实数时，(a+kc)(2b-a)，它们是同向还是反向？解：（1）由题意得(3,2)=m(-1,2
8、)+n(4,1)，所以解得（2）a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=-.此时a+kc=（-,）=(-5,2)=(2b-a),所以它们同向.易错警示已知点A(1,2),点B(3,6),则与AB共线的单位向量为.错解：由A(1,2),B(3,6)知AB=(2,4),错解分析：与AB共线有两种情况:一是同向共线,一是反向共线,“错解”中忽略了反向共线这一情况.正解：与AB同向时为与AB反向时为-链接高考（2010陕西）已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)c，则m.知识准备:1.会进行平面向量的坐标运算；2.会利用平行的条件.解析:a=(2,-1),b=(-1,m),a+b=(1,m-1).由(a+b)c,得,m=-1.
