1、第十三节导数的应用(1)基础梳理1.导数与函数单调性关系如果函数f(x)在某个区间(a，b)内可导，那么，当f(x)0时，函数y=f(x)在该区间内是_；当f(x)0时，函数y=f(x)在该区间内是_；当f(x)=0时，函数y=f(x)在该区间内是_减函数增函数常数函数2.用导数求函数单调区间的步骤(1)分析y=f(x)的_；(2)求_；(3)解不等式_，解集与定义域取交集可求出增区间；(4)解不等式_，解集与定义域取交集可求出减区间定义域f(x)f(x)0f(x)03.函数极值的概念已知函数y=f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有则称函数f(x)在
2、点x0处取极大值，记作y极大值=f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小值=f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.f(x)f(x0)，f(x)f(x0)，4.用导数求函数极值的步骤第一步：求导数_；第二步：求使方程_的所有实数根x0；第三步：列表，观察在每个根x0附近，从左到右，导数f(x)的符号如何变化如果f(x)的符号_，则f(x0)是极大值；如果f(x)的符号_，则f(x0)是极小值如果f(x)的符号_，则f(x0)不是函数的极值f(x)f(x)=0由
3、正变负由负变正不变基础达标1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-，2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2，+)D 解析：f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex)=(x-2)ex，令f(x)0，解得x2，故选D.2.(教材改编题)函数y=f(x)定义在区间-2,9上，其导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)在区间(-2,9)上的极大值的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3C 解析：若f(x0)=0，则在x0的附近，当f(x)的符号由正变负时，f(x)在x0处取得极大值，观察图象可知，在(-2,9)上，满足这样条件的x0有两个，故极大值有2个3.函数f(x)=x3
4、+ax+1在(-，-1)上为增函数，在(-1,1)上为减函数，则f(1)=()A.B.1 C.D.-1C 解析：由题意知f(-1)=0，即1+a=0，a=-1，f(x)=x3-x+1，f(1)=13-1+1=解析：由题意f(x)=-3x2+2ax-10在R上恒成立，D=4a2-120，解得4.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是_经典例题题型一 利用导数研究函数的单调性【例1】(2010湖南改编)已知函数其中a0，且a-1.讨论函数f(x)的单调性分析：求出f(x)，然后结合字母参数a的取值范围，解不等式f(x)0可求出增区间，解不等式f(x)0可求出
5、减区间解：f(x)的定义域为(0，+)，(1)若-1a0，则当0 x-a时，f(x)0；当-ax1时，f(x)0；当x1时，f(x)0，故f(x)分别在(0，-a)，(1，+)上单调递增，在(-a,1)上单调递减(2)若a-1，仿(1)可得f(x)分别在(0,1)，(-a，+)上单调递增，在(1，-a)上单调递减已知函数y=ln x，则其单调减区间为_变式1-1(0,1)解析：函数的定义域为(0，+)，令y0，即，得0 x1.故f(x)的单调减区间是(0,1)【例2】(2010安徽改编)设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a，xR.求f(x)的极值题型二 利用导数研究函数的极值分析：由方程
6、f(x)=0求出函数f(x)定义域内所有可能的极值点，然后检验这些点左右两侧f(x)的符号，判断是否是极值点，可用列表的方法来解决问题解：由f(x)=ex-2x+2a，xR知f(x)=ex-2，xR.令f(x)=0，得x=ln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(-，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，+)，f(x)在x=ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)=eln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a)x(-，ln 2)ln 2(ln 2，+)f(x)-0+f(x)极小值变式2-1若函数f(x)=ax3-bx+4，当x=2时，函
7、数f(x)有极值-.(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的极大值解析：由题意可知f(x)=3ax2-b.(1)由题意得解得故所求的函数解析式为f(x)=x3-4x+4.(2)由(1)可知f(x)=x2-4=(x-2)(x+2)令f(x)=0得x=2或x=-2，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表所示：-x(-，-2)-2(-2,2)2(2，+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值故x=2时，f(x)有极大值.【例3】设a0，函数f(x)=x3-ax在(1，+)上是单调递增函数，求实数a的取值范围题型三 利用导数求字母参数的取值范围分析：思路(1)：f(x)在(1，+)上是增函
8、数，则(1，+)是f(x)的递增区间的子集，故只要求出f(x)的单调递增区间即可思路(2)：因为f(x)在(1，+)上是单调递增函数，故f(x)0在(1，+)恒成立，使问题转化为不等式的恒成立问题来解决解：方法一：f(x)=3x2a令f(x)0，得 ，故f(x)的单调递增区间是 和 .又f(x)在(1，+)上是增函数，(1，+)是的 子集，即 ，0a3.a的取值范围是(0,3方法二：f(x)=x3-ax在(1，+)上是单调递增函数，f(x)=3x2-a0在(1，+)上恒成立，即a3x2在(1，+)上恒成立x(1，+)时，3x23，a3.又a0，a的取值范围是(0,3(2011北京宣武区质检)已
9、知函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x+b(a，bR)若x=1为f(x)的极值点，求a的值变式3-1解析：f(x)=x2-2ax+a2-1=x-(a-1)x-(a+1)x=1是f(x)的极值点，f(1)=0，即a2-2a=0，解得a=0或a=2.易错警示【例】函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a、b的值错解：f(x)=3x2+2ax+b，由题意知f(1)=0，且f(1)=10，即2a+b+3=0，且a2+a+b+1=10，解得a=4，b=-11或a=-3，b=3.正解：f(x0)为极值的充要条件是f(x0)=0且f(x)在x0附近两侧的符号相反所以在错解后应该
10、加上：当a=4，b=11时，f(x)=3x2+8x11=(3x+11)(x1)在x=1附近两侧的符号相反，a=4，b=11满足题意；当a=3，b=3时，f(x)=3(x1)2在x=1附近两侧的符号相同，a=3，b=3应舍去综上所述，a=4，b=11.链接高考(2010安徽)设函数f(x)=sin x-cos x+1,0 x2p，求函数f(x)的单调区间与极值1.掌握公式(sin x)=cos x，(cos x)=-sin x，(xn)=nxn-1，以及求导法则f(x)g(x)=f(x)g(x)；2.掌握三角辅助角公式：asin x+bcos x=sin(x+F)(其中)；3.根据x，f(x)，f(x)的变化情况表求出f(x)的单调区间和极值解析：由f(x)=sin x-cos x+x+1,0 x2p，知f(x)=cos x+sin x+1，于是令f(x)=0，从而,得x=p或x=.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如表：x(0，p)pf(x)+0-0+f(x)单调递增p+2单调递减单调递增因此，由上表知f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是，极小值为，极大值为.
