1、第六节 双曲线基础梳理1.双曲线的定义(1)平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件：到两个定点F1、F2的距离的_等于常数2a；2a_|F1F2|.(2)上述双曲线的焦点是_，焦距是_2.双曲线的标准方程和几何性质-标准方程=1(a0，b0)=1(a0，b0)图形性质范围_对称性对称轴：_对称中心：_对称轴：_对称中心：_顶点顶点坐标：A1_，A2_顶点坐标：A1_，A2_渐近线_离心率，e_，其中c=_实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|=_；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|=_；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2=_(ca
2、0，cb0)3.等轴双曲线_等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2-y2=(0)，离心率e=_，渐近线方程为_答案：1.(1)差的绝对值 小于(2)F1，F2|F1F2|2.xa或x-a，yRxR，y-a或ya 坐标轴 原点 坐标轴 原点(-a,0)(a,0)(0，-a)(0，a)y=xy=x(1，+)2a2ba2+b23.实轴和虚轴 y=x1.(教材改编题)已知双曲线x2-4y2=4上一点P到双曲线的一个焦点的距离等于6，那么P点到另一焦点的距离等于()A.10B.10或2C.6+2 D.62基础达标2.(2011山东滨州模拟)已知F1、F2是椭圆=1的两个焦点，平面内一个动点M满足|
3、MF1|-|MF2|=2，则动点M的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一个分支C.两条射线D.一条射线3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为x-2y=0，则它的离心率为()A.B.C.D.24.(2011天津高三期中考试)设双曲线=1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()5.(教材改编题)以椭圆=1的焦点为顶点，x轴上顶点为焦点的双曲线的标准方程为_.答案：1.B 解析：由-y2=1，得a=2，根据双曲线的定义知|PF1|-6|=4，所以|PF1|=10或2.2.D 解析：因为|F1F2|=2，|MF1|-|MF2|=2，
4、所以M在F1F2的延长线上，故选D.3.A 解析：=，b=2a.c2=a2+b2=5a2，e=.4.C 解析：由已知得到b=1，c=，a=，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为y=x=x.5.解析：椭圆的焦点为F1(-5,0)，F2(5,0)，顶点A1(-13,0)，A2(13,0)，由题意知双曲线的焦点为F1(-13,0)，F2(13,0)，顶点是A1(-5,0)，A2(5,0)，则双曲线中a=5，c=13，所以b2=c2-a2=144，故所求的双曲线为经典例题题型一 双曲线的定义及标准方程【例1】已知动圆M与圆C1：(x+4)2+y2=2外切，与圆C2：(x-4)2+y2=2内切，求动
5、圆圆心M的轨迹方程解：如图，设动圆M的半径为r，则由已知得|MC1|=r+，|MC2|=r-.|MC1|-|MC2|=2 .又C1(-4,0)，C2(4,0)，|C1C2|=8，20，b0)，则F(c,0)，B(0，b)，直线FB方程为+=1，即bx+cy-bc=0，又直线BF与渐近线y=x垂直，-=-1，即b2=ac，c2-a2=ac，即e2-e-1=0，解得e=或e=(舍去)题型三 直线与双曲线的位置关系【例3】已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，点P(-2，0)与其渐近线的距离为，过点P作斜率为1/6的直线交双曲线于A，B两点，交y轴于M，且|PM|是|PA|与|PB|的等比中项(1
6、)求双曲线C的渐近线方程；(2)求双曲线C的方程解：(1)设双曲线的一条渐近线方程为y=kx，由点到直线的距离公式得k=，即双曲线的渐近线方程为y=x.(2)设双曲线方程为x2-9y2=m(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AB的方程为y=(x+2)由得3x2-4x-4-4m=0，当D=16-4*3(-4-4m)0，即m-时，有x1+x2=，x1x2=-(1+m)点M坐标为，由|MP|2=|PA|PB|，可得|(x1+2)(x2+2)|=4，从而m=7或m=1.故所求的双曲线方程为或x2-9y2=1.题型四 双曲线的实际应用【例4】某接报中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点
7、的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观测点听到该巨响的时间比其他两观测点晚4 s已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m，试确定该巨响发生的位置(假定声音传播的速度为340 m/s，且各观测点均在同一平面内)解：如图，以接报中心为原点，正东、正北方向分别为x、y轴的正方向建立直角坐标系，设A、B、C分别为西、东、北观测点，则A(-1 020,0)，B(1 020,0)，C(0,1 020)设P(x，y)为巨响发生点，则|PB|-|PA|=340*4,1 020*2=2 040，所以点P在某双曲线的左支上，由双曲线的定义知a=680，c=1 020,得b2=5*3402，双曲
8、线方程为(x0)由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，因此P在直线y=-x上，由解得x=-680 或680 (舍去)，P(-680 ，680 )，因此|OP|=680 .故巨响发生在接报中心的西偏北45方向，距中心680 m处【例1】已知双曲线的渐近线方程为y=4/3x，则此双曲线的离心率为()A.5/3 B.5/4 C.5/3或5/4 D.5/2或5/3错解 因为双曲线的渐近线方程为y=4/3x，所以故选A.易错警示错解分析 错解的原因是只考虑了双曲线的焦点在x轴上的情况，而忽视了焦点在y轴上的情况.正解：当双曲线的焦点在x轴上时，=，所以离心率为e=；当双曲线的焦点在y轴上时，=，
9、所以离心率为e=，故选C.【例2】已知双曲线方程x2-y2/4=1，过点P(1,1)的斜率为k的直线l与双曲线只有一个公共点，求k的值错解 设l的方程为y=k(x-1)+1，代入双曲线方程得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0，因为D=0，所以k=5/2.错解分析 上述解法忽视了当4-k2=0,即k=2时，l与双曲线的渐近线平行，此时l与双曲线只有一个交点.正解：把l的方程y=k(x-1)+1代入双曲线方程得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0，当4-k2=0，即k=2时，l与双曲线的渐近线平行，此时l与双曲线只有一个交点；当4-k2 0，即k2时，由D
10、=0，得k=.所以k的值为或2.链接高考1.(2010天津)已知双曲线=1(a0，b0)的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的方程为_知识准备：1.知道双曲线方程与其渐近线的关系；2.会求双曲线与抛物线的焦点坐标；3.会用待定系数法求解答案：解析：由题意知，双曲线的一个焦点为(4,0)，即a2+b2=16，又因为已知双曲线(a0，b0)的一条渐近线方程是y=x，所以有，即b=a，可解得a2=4，b2=12，故双曲线的方程为2.(2010浙江)设O为坐标原点，F1，F2是双曲线=1(a0，b0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足F1PF2=60，|OP|=a，则该双曲线的渐近线方程为()知识准备：双曲线的定义以及余弦定理的运用，双曲线中a、b、c的关系 答案：D解析：如图，由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，在PF1Q中，由余弦定理得(2 a)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 120，整理得|PF1|PF2|=8a2，在PF1F2中，由余弦定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60，整理得c2=3a2，所以b2=2a2，故双曲线的渐近线方程为xy=0.
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