1、第二节 函数的定义域与值域1.在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,叫做函数的值域.基础梳理x的取值范围A函数值的集合f(x)|xA2.函数的定义域的常见求法(1)分式的分母；(2)偶次根式的被开方数；(3)对数的真数,底数；(4)零次幂的底数；(5)三角函数中的正切函数y=tan x；(6)已知函数f(x)定义域为D,求函数fg(x)的定义域,只需；(7)已知函数fg(x)定义域为D,求函数f(x)的定义域,只需要求.不为零大于或等于零大于零大于零且不等于1不为零g(x)Dg(x)的值域(xD)3.求函数值域（最值）的常用方法：（1）基本
2、函数法对于基本函数的值域可通过它的图象性质直接求解.（2）配方法对于形如y=ax2+bx+c(a0)或F(x)=af2(x)+bf(x)+c(a0)类的函数的值域问题，均可用配方法求解.(3)换元法利用代数或三角换元，将所给函数转化成易求值域的函数，形如y的函数，令f(x)t；形如yaxb (a，b，c，d均为常数，ac0)的函数，令t；形如的结构的函数，可利用三角代换，令xacos，0，或令xasin，.(4)不等式法利用基本不等式：ab2 ，用此法求函数值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”如利用ab2 求某些函数值域(或最值)时应满足三个条件：a0，b0；ab(或ab)为定值；取等号条
3、件ab，三个条件缺一不可(5)函数的单调性法确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域，例如，f(x)ax(a0，b0)当利用不等式法等号不能成立时，可考虑用函数的单调性(6)数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，形如：可联想两点(x1，y1)与(x2，y2)连线的斜率(7)函数的有界性法形如，可用y表示出sin x，再根据1sin x1，解关于y的不等式，可求y的取值范围(8)导数法设yf(x)的导数为f(x)，由f(x)0可求得极值点坐标，若函数定义域为a，b，则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值基础达标1.(2010广东)
4、函数f(x)lg(x1)的定义域是()A.(2，)B.(1，)C.1，)D.2，)2.(教材改编题)下面是几个同学分别画出的满足定义域为x|3x4，且x2，值域为y|1y2，y0的一个函数的图象，其中画正确的是()B 解析：x10，得x1，故选B.A 解析：B项中定义域，值域均不符；C项中定义域满足，但值域不满足；D项中值域不满足，定义域也不满足只有A项正确3.(教材改编题)下列说法正确有()函数的定义域可以为空集；函数y的值域为R；一次函数ykxb(k0)的定义域、值域均为R；函数yax2bxc(a0)的最小值为；函数yx22x(x2,4)的值域为y|y1A.0个B.1个C.2个D.3个B
5、解析：错，定义域为非空数集；错，值域为y|y0；正确；错，a0时，ymin，a0时，ymax；错，因为定义域为2,4，所以值域为0,84.函数y的定义域为R，则k的取值范围是()A.k0或k9 B.k1 C.9k1 D.0k14.B 解析：kx26xk80恒成立，k0 显然不符，解得k1.5.函数f(x)(xR)的值域是()A.0,1 B.0,1)C.(0,1 D.(0,1)5.C 解析：1x21，0 1，y(0,1经典例题题型一 函数的定义域【例1】(2010湖北)函数的定义域为()A.B.C.(1，)D.(1，)解：,解得x1，故选A.分析 需要使解析式有意义，列不等式组来解变式11函数f
6、(x)lg(3x1)的定义域是()A.B.C.D.B解析：由由解得 x1.题型二 复合函数的定义域【例2】已知函数f(x)的定义域为0,1，求下列函数的定义域：(1)f(x2)；(2)f(1)分析 根据复合函数定义域的含义求解解：(1)f(x)的定义域是0,1，要使f(x2)有意义，则必有0 x21，解得1x1，f(x2)的定义域为1,1(2)由0 11，得1 2.1x4，函数f(1)的定义域为1,4变式21设f(x)lg，则f f 的定义域为()A.(4,0)(0,4)B.(4，1)(1,4)C.(2，1)(1,2)D.(4，2)(2,4)B 解析：f(x)lg的定义域为(2,2)，由解得4
7、x1或1x4.题型三 函数的值域【例3】求下列函数的值域(1)y3x2x2，x1,3；(2)y2x.分析对于(1)利用二次函数在确定区间单调性求解或利用所在区间的图象判断对于(2)利用换元法转化为二次函数的值域问题，还可以通过单调性求解.解：(1)y3x2x232 .对称轴x 1,3，函数在x 处取得最小值，即ymin .结合函数的单调性知函数在x3处取得最大值，即ymax26，函数的值域为 .(2)方法一：令t(t0)，则x.y1t2t2.二次函数对称轴为t，y2 在0，)上是减函数，ymax1.函数有最大值1，无最小值，其值域为(，1方法二：y2x与y均为定义域上的增函数，y2x是定义域为
8、上的增函数，ymax2 1，无最小值函数的值域为(，1求下列函数的值域(1)y；(2)y；(3)y.变式31值域为y|yR且y 2解析：(2)2xx22 ，若2xx20，则y0；若2xx20，则无意义；若02xx2 ，则y ，函数的值域为(，0).(3)由得2x8，定义域为-2,8函数为增函数，函数的值域为易错警示【例】已知函数f(x23)lg，求f(x)的定义域错解1 只需lg有意义，0，x240，x2或x2.f(x)的定义域为(，2)(2，)错解2 令x23t，则x2t3，f(t)lg，f(x)lg，f(x)的定义域只需lg有意义0，x3或x1.f(x)的定义域为(，3)(1，)正解要使f(x23)有意义应有 0，即x24，令x23t，有f(t)lg.x2t34，t1.函数f(x)lg 的定义域是x|x1链接高考(2010山东)函数f(x)log2(3x1)的值域为()A.(0，)B.0，)C.(1，)D.1，)知识准备：1.知道y3x的值域为(0，);2.知道ylog2x是单调递增，并会画出它的图象；3.会利用单调性求值域A 解析：3x0，3x+11，令U=3x+1，则U1，由y=log2U的单调性可知y0，值域为(0，+)，故选A.
