1、第一节函数及其表示1.函数的概念设A、B是非空的,如果按照某个确定的,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作.其中,x叫做,x的取值范围A叫做函数的;与x的值相对应的y值叫做,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的.基础梳理数集对应关系f唯一确定的数yf(x)自变量定义域函数值值域2.构成函数的三要素:、和.3.两个函数的相等两个函数能成为同一个函数的充要条件是与都相同.4.常用的函数表示法:(1);(2);(3).5.分段函数若一个函数的定义域分成了若干个,而每个的子区间不同,这种函数称为分段函数.值域定义域对应关系定义域对应关
2、系解析法列表法图象法解析式子区间6.映射的概念一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的元素x,在集合B中都有元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射，记作“”.f：AB任意一个唯一确定的基础达标1.在下列图象中，表示y是x的函数图象的是()A.B.C.D.B解析：由函数定义可知，自变量x对应着唯一的y值，所以错误，正确，故选B.2.（教材改编题）下列四个命题正确的有()设A=x|x是圆，B=x|x是三角形，对应关系f:每一个圆都对应它的外切三角形，则f:AB是集合A到B的映射；函数是其定义域到值域的映射；函数g(n)=3n+1(n
3、N)的图象是一条直线;设集合A=a,b,B=0,1,则从集合A到B的映射共有4个.A.1个B.2个C.3个D.4个B解析：错误，正确，故选B.3.下列各组函数中表示同一函数的是()A.f(x)x与g(x)()2B.f(x)|x|与g(x)C.f(x)x|x|与D.f(x)与g(t)t1(t1)D解析：A定义域不同，B对应关系不同，C定义域不同，D中f(x)x1(x1)与g(t)t1(t1)表示自变量的字母不同，但定义域与对应关系都相同，故是相同的函数，故选D.4.设,则f(f(2)的值为()A.0 B.1 C.2 D.3C解析：f(2)log3(221)1，又f(1)2e02，f(f(2)2.
4、经典例题【例1】(1)函数y=f(x)(xD)的图象与一条直线x=a交点的个数是（）A.至少有一个B.至多有一个C.有且只有一个D.有一个或两个(2)下列各组函数中，表示同一函数的是（）题型一函数的基本概念A.f(x)，g(x)B.f(x)x22x1，g(t)t22t1C.f(n)2n1(nZ)，g(n)2n1(nZ)D.f(x)，g(x)()2(1)函数定义域A中任意一个自变量在B中都有唯一元素和它对应，所以要看xa和定义域D的关系；(2)函数的定义域和对应关系决定了函数的值域，故两个函数只要定义域、对应关系相同，则是同一函数分析：(1)当xaD时，根据函数的定义，有且只有一个交点；当xaD
5、时，无交点故至多有一个交点，选B.(2)A项中求f(x)的定义域需解不等式组得x|x1，求g(x)的定义域需解x210得x|x1或x1，定义域不同B项中，f(x)，g(t)虽然自变量用不同的字母表示，但定义域和对应关系都相同，所以表示同一函数C项中，对应关系不同，所以不是同一函数D项中，f(x)|x|，g(x)x(x0)，两函数定义域不同综上可知，选B.解：题型二 分段函数求值【例2】(2010湖北)已知函数则()A.4B.C.4D.分析：注意自变量的取值适合的范围，然后按从内到外的顺序，先求，再求的值解：根据分段函数可得，则，所以B正确已知若f(f(0)4a，则实数a的值为_变式21f(0)
6、2，f(f(0)f(2)42a4a，所以a2.2 解析：题型三 求函数解析式【例3】(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式；(2)已知f(1)x2 ，求f(x)的解析式.若已知解析式的类型，可用待定系数法求函数解析式，如(1)；若已知复合函数的表达式，可用换元法，这时要注意“元”的范围，如(2)分析：解：(1)设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17不论x为何值都成立解得f(x)2x7.(2)方法一：设t 1，则x(t1)2(t1)，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t
7、22t12t2t21.f(x)x21(x1)方法二：x2 ()22 11(1)21，f(1)(1)21(11)，f(x)x21(x1)变式31(1)已知f(x)是二次函数，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1，求f(x)；(2)已知f x22，求f(2)(1)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0知c0，即f(x)ax2bx.由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2(b1)x1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，故有解得ab，因此f(x)x2x.(2)令 2，得x，f(2)22=.【例4】我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算出台一项水费政策措施
8、，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为(0 x7)吨，试计算本季度他应缴多少水费？题型四 分段函数的应用在本题中，用水量(自变量x)属于不同范围时有不同的缴费办法，所以应分段计算水费分析：解：用y表示本季度应交水费(单位：元)当0 x5时，y11.3x；当5x6时，应把x分成两部分：5与(x5)分别计算，第一部分收基本水费1.35，第二部分由基本水费与加价水费组成，即1.3(x5)1.3(x5)200%1.3(x5)(1200%)，y21.351.3(x5)(1200%)3.9x13；当6x7时，同理，y31.351.3(1200%)1.3(x6)(1400%)6.5x28.6，综上可得，链接高考(2010江苏)已知函数则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的范围是_知识准备：1.知道f(x)是分段函数，所以f(1x2)，f(2x)的解析式需要讨论；2.分类讨论的数学思想；3.会解一元二次不等式(1，1)解析：函数f(x)的函数图象如下图所示，则由f(1x2)f(2x)可得1x22x0或1x202x，解得0 x1或1x0，即不等式f(1x2)f(2x)的解集为(1，1)
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