1、第二章函数、导数及其应用第1讲函数与映射的概念1(2015年重庆)函数f(x)log2(x22x3)的定义域是()A3,1B(3,1)C(，31，)D(，3)(1，)2(2012年江西)下列函数中，与函数y定义域相同的函数为()Ay By Cyxex Dy3下列四组函数中，表示同一函数的是()Ayx1与yBy与yCy4lgx与y2lgx2Dylgx2与ylg4(2012年大纲)函数y(x1)的反函数为()Ayx21(x0) Byx21(x1)Cyx21(x0) Dyx21(x1)5若函数yf(x)的定义域是1,2016，则函数g(x)的定义域是()A0,2015 B0,1)(1,2015C(1
2、,2016 D1,1)(1,20156函数y的值域是()A0，) B0,4C0,4) D(0,4)7已知映射f：P(m，n)P(，)(m0，n0)设点A(1,3)，B(2,2)，点M是线段AB上一动点，f：MM.当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M所经过的路线长度为()A. B. C. D. 8已知函数f(x)x22x，g(x)ax2(a0)(1)若x11,2，x21,2，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_；(2)若x11,2，x21,2，使得g (x1)f(x2)，则实数a的取值范围是_9(1)求函数f(x)的定义域；(2)已知函数f(2x)的定义域是1
3、,1，求f(log2x)的定义域10规定t为不超过t的最大整数，例如12.612，3.54，对任意实数x，令f1(x)4x，g(x)4x4x，进一步令f2(x)f1g(x)(1)若x，分别求f1(x)和f2(x)；(2)求x的取值范围，使它同时满足f1(x)1，f2(x)3.第2讲函数的表示法1设f(x2)2x3，则f(x)()A2x1 B2x1 C2x3 D2x72(2014年江西)已知函数f(x)(aR)，若ff(1)1，则a()A. B. C1 D23已知函数f(x)若f(a)，则实数a的值为()A1或 B.C1 D1或4下列函数中，不满足f(2x)2f(x)的是()Af(x)|x| B
4、f(x)x|x|Cf(x)x1 Df(x)x5如图X221(1)，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，由BCDA沿边运动，设点P运动的路程为x，ABP的面积为f(x)若函数yf(x)的图象如图X221(2)，则ABC的面积为()(1) (2)图X221A10 B32 C18 D166(2015年山东)设函数f(x)若f4，则b()A1 B. C. D.7(2013年福建)已知函数f(x)则f_.8(2013年北京东城一模)对定义域内的任意x，若有f(x)f的函数，我们称为满足“翻负”变换的函数，下列函数yx；ylogax1；y中，满足“翻负”变换的函数是_(写出所有满足条件的函数的序号)9
5、根据条件求下列各函数的解析式：(1)已知f(x)是二次函数，若f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)；(2)已知f，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)满足2f(x)f3x，求f(x)的解析式10定义：如果函数yf(x)在定义域内给定区间a，b上存在x0(ax00时，f(x)x2，则f(1)()A2 B1 C0 D22已知函数f(x)ax2bx3ab是定义域为a1,2a的偶函数，则ab()A0 B.C1 D13(2015年福建)下列函数为奇函数的是()AyByex CycosxDyexex 4设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)()A3
6、 B1C1 D35(2013年湖北)x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f(x)xx在R上为()A奇函数 B偶函数C增函数 D周期函数6(2013年大纲)设f(x)是以2为周期的函数，且当x1,3)时，f(x)x2，则f(1)_.7(2013年安徽)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_.8(2013年上海奉贤区一模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x(0,1)，f(x)log(1x)，则函数f(x)在(1,2)上的解析式是_9已知奇函数f(x)(1)求实数m的值，并在如图X231所示的平面直角坐标系中画出
7、函数f(x)的图象；(2)若函数f(x)在区间1，a2上是增函数，结合函数f(x)的图象，求实数a的取值范围；(3)结合图象，求函数f(x)在区间2,2上的最大值和最小值图X23110已知函数f(x)在R上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0.(1)试判断函数yf(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)0在闭区间2011,2011上根的个数，并证明你的结论第4讲函数的单调性与最值1(2014年北京)下列函数中，定义域是R，且为增函数的是()Ayex Byx3Cylnx Dy|x|2(2015年湖南)设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f
8、(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数3设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式0的解集为()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)4(2015年陕西)设f(x)xsinx，则f(x)()A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C是有零点的减函数D是没有零点的奇函数5(2013年新课标)若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)6已知函数f(x)x3sinx，x(1,
9、1)，如果f(1m)f(1m2)0，则m的取值范围是_7(2015年浙江)已知函数f(x)则ff(2)_，f(x)的最小值是_8(2015年福建)若函数f(x)(a0且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_9(2015年上海)已知函数f(x)ax2，其中a为实数(1)根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若a(1,3)，判断函数f(x)在1,2上的单调性，并说明理由10(2015年广东揭阳一模)已知函数f(x)x3(2k1)x23k(k2)x1，其中k为实数(1)当k1时，求函数f(x)在0,6上的最大值和最小值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若函数f(x
10、)的导函数f(x)在(0,6)上有唯一的零点，求k的取值范围第5讲指数式与指数函数1若点(a,9)在函数y3x的图象上，则tan的值为()A0 B. C1 D.2(2013年广东揭阳二模)函数y的定义域为()A0，) B(，0C(0，) D(，0)3(2015年广东深圳一模)若函数yaxb的部分图象如图X251，则()图X251A0a1，1b0 B0a1,0b1，1b1,0b0，且a1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有()A0a1 Ba1，且b0C0a1，且b1，且b06(2014年山东)已知实数x，y满足axay(0ay3 BsinxsinyCln(x21)ln(y21) D.7(201
11、5年山东)若函数f(x)是奇函数，则使f(x)3成立的x的取值范围为()A(，1) B(1,0)C(0,1) D(1，)8(2014年新课标)设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_9当实数k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？10已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性；(3)求f(x)的值域； (4)证明：f(x)在定义域上是增函数第6讲对数式与对数函数1(2014年辽宁)已知a，blog2，clog，则()Aabc BacbCcab Dcba2(2015年陕西)设f(x)lnx,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则下列关系式
12、中正确的是()Aqrp BqrpCprq Dprq3已知Ax|2x，定义在A上的函数ylogax(a0，且a1)的最大值比最小值大1，则底数a的值为()A. B.C2 D.或4(2014年四川)已知b0，log5ba，lgbc,5d10，则下列等式一定成立的是()Adac BacdCcad Ddac5(2015年天津)已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcabCacb Dcba6(2015年安徽)lg2lg21_.7已知yloga(2ax)在0,1上是关于x的减函数，则
13、a的取值范围是_8(2015年上海)方程log2(9x15)log2(3x12)2的解为_9已知函数f(x)log2(x1)log2(1x)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)求使得不等式f(x)0成立的x的解集10已知函数f(x)ln(k0)(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)在区间10，)上是增函数，求实数k的取值范围第7讲一次函数、反比例函数及二次函数1若f(x)x22ax与g(x)在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(1,0)(0,1C(0,1)D(0,12设b0，二次函数yax2bxa21的图象为如图X271所示
14、的四个图中的一个，则a()图X271A1 B.1C. D.3(2013年重庆)y(6a3)的最大值为()A9 B. C3 D.4(2014年江苏)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意的xm，m1都有f(x)0，则实数m的取值范围为_5若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.6(2014年大纲)若函数f(x)cos2xasinx在区间上是减函数，则a的取值范围是_7设集合Ax|x22x30，集合Bx|x22ax10，a0若AB中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是_8(2014年浙江)已知实数a，b，c满足abc0，a2b2c
15、21，则a的最大值为_9已知函数f(x)x22ax3，x4,6(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数10已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图X272，请根据图象：(1)写出函数f(x)(xR)的增区间；(2)写出函数f(x)(xR)的解析式；(3)若函数g(x)f(x)2ax2(x1,2)，求函数g(x)的最小值图X272第8讲幂函数1已知点在幂函数yf(x)的图象上，则f(x)的表达式是()Af(x)3x Bf(x)x3Cf(x)x2 Df(x)x2(2013年
16、上海)函数f(x)x的大致图象是() A B C D3在同一直角坐标系内，函数yxa(a0)和yax的图象可能是() A B C D4已知函数f(x)(m2m1)是幂函数，且f(x)f(x)，则实数m的值为()A0或1 B1C0 D.5(2015年山东)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()Aabc BacbCbac Dbca6设，则使函数yx的定义域为R，且该函数为奇函数的所有的值为()A1,3 B1,1C1,3 D1,1,37(2013年广东惠州一模)已知幂函数yf(x)的图象过点，则log4f(2)()A. B C2 D28(2014年上海)若f(
17、x)xx，则满足f(x)0，且a1)的图象如图X292，则下列函数图象正确的是()图X292 A B C D4已知函数yf(x)(xR)满足f(x1)f(x1)，且当x1,1时，f(x)x2，则方程yf(x)与ylog5x的实数根的个数为()A2个 B3个 C4个 D5个5(2014年福建)函数f(x)的零点个数是_6(2015年安徽)函数f(x)的图象如图X293，则下列结论成立的是()图X293Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c07(2015年福建)若函数f(x)2|xa|(aR)满足f(1x)f(1x)，且f(x)在m，)单调递增，则实数m的最小值
18、等于_8已知定义在区间上的函数yf(x)的图象关于直线x对称，当x时，f(x)sinx，如果关于x的方程f(x)a有解，记所有解的和为S，则S不可能为()A B C D9(1)已知定义在区间0,2上的函数yf(x)的图象如图X294，则yf(2x)的图象为()图X294 A B C D(2)已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x0,1时，f(x)x，且在1,3内，关于x的方程f(x)kxk1(kR，k1)有四个根，则k的取值范围是_10(1)已知f(x)x22mx3m4，求m为何值时，f(x)有且仅有1个零点？f(x)有2个零点，且均比1大？(2)若函数f(x)|4xx2|a有4个零点，求实数
19、a的取值范围第10讲函数与方程1(2015年安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()Aylnx Byx21Cysinx Dycosx2(2013年北京东城一模)根据表格中的数据，可以断定函数f(x)lnx的零点所在的区间是()项目12e35lnx00.6911.101.6131.51.1010.6A.(1,2) B(2，e)C(e,3) D(3,5)3若方程lnxx40在区间(a，b)(a，bZ，且ba1)上有一根，则a()A1 B2 C3 D44(2013年广东广州华附一模)已知函数f(x)xsinx，则f(x)在0,2上的零点个数为()A1个 B2个 C3个 D4个5(2013年天津
20、)设函数f(x)exx2，g(x)lnxx23.若实数a，b满足f(a)0，g(b)0，则()Ag(a)0f(b) Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b) Df(b)g(a)0，y0，函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)”的是()A幂函数 B对数函数C指数函数 D余弦函数2(由2015年广东惠州三模改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对于任意两个实数x1x2，不等式0恒成立，则不等式f(x3)0的解集为()A(，3) B(4，)C(，1) D(，4)3(2014年陕西)下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调递增函数是()Af(x)x3 Bf(x)3xCf(x)x
21、 Df(x)x4已知函数f(x)满足：f(1)2，f(x1)，则f(2015)()A2 B3 C D.5给出下列三个等式：f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)，f(xy).下列函数中，不满足其中任何一个等式的是()Af(x)3x Bf(x)sinxCf(x)log2x Df(x)tanx6已知定义域为(1,1)的奇函数yf(x)是减函数，且f(a3)f(9a2)1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)0.(1)若ab，比较f(a)与f(b)的大小；(2)解不等式f0)(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线yf
22、(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx，求a，b的值10已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程第14讲导数在函数中的应用1(2013年广东广州二模)已知函数yf(x)的图象如图X2141，则其导函数yf(x)的图象可能是()图X2141 A B C D2(2015年安徽)函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图X2142，则下列结论成立的是()图X2142Aa0，b0，c0，d0 Ba0，b0，c0，d0Ca0，b0，c0，d0 Da0，b0，c0，d03(2014年新课标)若函数f(x)kxln
23、x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是()A(，2 B(，1C2，) D1，)4已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c()A2或2 B9或3C1或1 D3或15(2014年湖南)若0x1x2lnx2lnx1 Bx1 Dx20，yxex的定义域为R，y的定义域为x|x0故选D.3D4A解析：由yx1y2xy21.而x1，故y0互换x，y得到yx21(x0)故选A.5B解析：要使函数f(x1)有意义，则有1x12016.解得0x2015.故函数f(x1)的定义域为0,2015所以使函数g(x)有意义的条件是解得0x1，或1x2015.故函数g(x)的定义域为0,1)(1,201
24、5故选B.6C解析：4x0，0164x16.0,4)7B解析：线段AB：xy4，(1x2)，f：P(m，n)P(，)(m0，n0)设P(x，y)，则P(x2，y2)有x2y24，(1x)，点M的对应点M所经过的路线长度为如图D66所示的两段圆弧2.故选B.图D668a30a解析：(1)f(x)x22x在1,2上的值域为1,3，而g(x)ax2(a0)在1,2上单调递增，则g(x)ax2的值域为2a,2a2由题意，得1,32a,2a2，即解得a3.(2)由题意，得a2,2a21,3，有a，a0.故0a.9解：(1)要使函数有意义，只需即解得3x0或2x3.故函数f(x)的定义域是(3,0)(2,
25、3)(2)yf(2x)的定义域是1,1，即1x1.2x2.对于函数yf(log2x)，有log2x2，即log2 log2xlog24.x4.故函数f(log2x)的定义域为，410解：(1)当x时，4x，f1(x)1，g(x).f2(x)f1g(x)f133.(2)f1(x)4x1，g(x)4x1，f2(x)f1(4x1)16x43.x0时，log2a，a；当a0时，2a，a1.故选A.4C解析：将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等对于A，f(2x)|2x|2|x|2f(x)；对于B，f(2x)2x|2x|2(x|x|)2f(x)；对于C，f(2x)2x12f(x)；对于D，f(2x
26、)2x2f(x)故只有C不满足f(2x)2f(x)故选C.5D解析：由yf(x)的图象，得当x4和x9时，ABP的面积相等BC4，BCCD9，即CD5.易知AD1495.如图D67，过点D作DEAB于点E.B90，DEBC4.在RtAED中，AE3.ABAEEB358.SABCABBC8416.图D676D解析：由题意，f3bb，由f4，得或解得b.故选D.72解析：f(x)ftan1.ff(1)2(1)32.8解析：f(x)x，fxf(x)；f(x)logax1，flogax1f(x)；显然满足9解：(1) 设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，得f(x)ax2bx.又由f(x1)f
27、(x)x1.a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1.ab.因此f(x)x2x.(2)令t，由此，得x(t1)f(t).从而f(x)的解析式为f(x)(x1)(3)2f(x)f3x，把中的x换成，得2ff(x).2，得3f(x)6x.f(x)2x(x0)10解：(1)由定义知，关于x的方程x24x在(0,9)上有实数根时，函数f(x)x24x是0,9上的平均值函数而x24x，即x24x50.解得x15或x21.又x15(0,9)x21(0,9)故舍去，f(x)x24x是0,9上的平均值函数，5是它的均值点(2)f(x)x2mx1是1,1上的平均值函数，关
28、于x的方程x2mx1在(1,1)内有实数根由x2mx1，得x2mxm10.解得x1m1或x21.又x21(1,1)，x1m1必为均值点，即1m11.所求实数m的取值范围是0m2.第3讲函数的奇偶性与周期性1D解析：f(1)f(1)2.2B解析：由函数f(x)是定义域为a1,2a的偶函数，得b0，且a12a，即a.故ab.3D解析：函数y和yex是非奇非偶函数； ycosx是偶函数；yexex是奇函数故选D.4A解析：f(x)为定义在R上的奇函数，有f(0)2020b0，解得b1.当x0时，f(x)2x2x1，f(1)f(1)(21211)3.5D解析：f(x)xx，f(x1)x1x1x1x1x
29、xf(x)，f(x)为周期函数61解析：由于f(x)的周期为2，且当x1,3)时，f(x)x2，所以f(1)f(12)f(1)121.7解析：当1x0时，0x11，f(x).8ylog(x1)解析：当x(1,0)时，x(0,1)，f(x)log(1x)又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)f(x)log(1x)，x(1,0)；当x(1,2)时， x2(1,0)又f(x)是定义在R上以2为周期的函数，f(x)f(x2)log(1x2)log(x1)9解：(1)当x0，则f(x)(x)22(x)x22x.又函数f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(x)f(x)(x22x)x22x.又当x0时
30、，f(x)x2mx，对任意x0，总有x22xx2mx，m2.函数f(x)的图象如图D68.图D68(2)由(1)知，f(x)由图象知，函数f(x)在区间1,1上是增函数要使f(x)在1，a2上是增函数，需有解得1a3.即实数a的取值范围是(1,3(3)由图象知，函数f(x)的图象在区间2,2上的最高点是(1，f(1)，最低点是(1，f(1)又f(1)121，f(1)121，函数f(x)在区间2,2上的最大值是1，最小值是1.10解：(1)若yf(x)为偶函数，则f(x)f(2(x2)f(2(x2)f(4x)f(x)，f(7)f(3)0，这与f(x)在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0矛盾；
31、因此f(x)不是偶函数若yf(x)为奇函数，则f(0)f(0)f(0)，f(0)0，这与f(x)在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0矛盾；因此f(x)不是奇函数综上所述，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)f(x)f(2(x2)f(2(x2)f(4x)，f(x)f(7(x7)f(7(x7)f(14x)，f(14x)f(4x)，即f(10(4x)f(4x)，f(x10)f(x)，即函数f(x)的周期为10.又f(1)f(3)0，f(1)f(110n)0(nZ)，f(3)f(310n)0(nZ)，即x110n和x310n(nZ)均是方程f(x)0的根由2011110n2011及nZ可得n
32、0，1，2，3，201，共403个；由2011310n2011及nZ可得n0，1，2，3，200，201，共402个；方程f(x)0在闭区间2 011,2 011上的根共有805个第4讲函数的单调性与最值1B解析：yexx在R上单调递减；ylnx的定义域为(0，)；y|x|当x0时，函数单调递减；只有函数yx3的定义域是R，且为增函数2A解析：显然，f(x)的定义域为(1,1)，关于原点对称，又f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，f(x)为奇函数，显然，f(x)在(0,1)上单调递增故选A.3D解析：由0，得xf(x)0，结合图象可求解集为(1,0)(0,1)4B解析：由f(x)xsin
33、xf(x)(x)sin(x)xsinx(xsinx)f(x)，又f(x)的定义域为R关于原点对称，所以f(x)是奇函数；由f(x)1cosx0f(x)在R上是增函数故选B.5D解析：若存在正数x使2x(xa)1成立，即存在正数x使xax成立，即amax.又x在(0，)上单调递增，所以max01.故a1.故选D.6(1，)解析：易知函数f(x)x3sinxx(1,1)是奇函数又是增函数由f(1m)f(1m2)0，得f(1m)f(1m2)f(m21)，有解得1m.72 6解析：f(2)(2)24，所以ff(2)f(4)46.当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)2 6，当且仅当x，即x时取到.因
34、为260，所以函数的最小值为2 6.8(1,2解析：当x2，有x64，要使得函数f(x)的值域为4，)，只需f1(x)3logax(x2)的值域包含于4，)，故a1，所以f1(x)3loga2，所以3loga24，解得1a2，所以实数a的取值范围是(1,29解：(1)当a0时，f(x)，显然是奇函数；当a0时，f(1)a1，f(1)a1，f(1)f(1)且f(1)f(1)0，所以此时f(x)是非奇非偶函数(2)设x1x21,2，则f(x1)f(x2)a(x1x2)(x1x2)(x1x2).因为x1x21,2，所以x1x20,2x1x24,1x1x24.所以2a(x1x2)12，1.所以a(x1
35、x2)0.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函数f(x1)在1,2上单调递增10解：(1)当k1时，f(x)x3x23x1，则f(x)x22x3(x1)(x3)令f(x)0，x0,6，得x1，且f(x)在0,1上单调递减，在1,6上单调递增f(0)1，f(1)，f(6)91，f(x)在0,6上的最大值为91，最小值为.(2)f(x)x22(2k1)x3k(k2)(x3k)x(k2)，当k1时，f(x)(x3)20，函数f(x)的单调递增区间为(，)；当k1时，3kk2，由f(x)0解得x3k或xk2.由f(x)0，得k2x3k.函数f(x)的单调递增区间为(3k，)和(，k2
36、)，单调递减区间为(k2,3k)；当k1时，3kk2，由f(x)0，解得xk2或x3k.由f(x)0，得3kxk2.函数f(x)的单调递增区间为(，3k)和(k2，)；单调递减区间为(3k，k2)(3)由f(x)(x3k)x(k2)0，得x1k2，x23k，当x1x2时，有k23kk1，此时x1x23(0,6)，函数f(x)在(0,6)上有唯一的零点，k1即为所求；当x1x2时，有k23kk1，此时x2x13，函数f(x)在(0,6)上有唯一的零点，得x20x13，即3k0k23，解得2k0；当x1x2时，有k23kk1，此时x2x13，函数f(x)在(0,6)上有唯一的零点，得3x16x2，
37、即3k263k，解得2k4.综上，得实数k的取值范围是：(2,012,4)第5讲指数式与指数函数1D解析：因为点(a,9)在函数y3x的图象上，所以93a，所以a2，即tantantan.故选D.2B解析：12x0,2x120，x0.故选B.3A解析：由图象可以看出，函数为减函数，故0a1.因为函数yax的图象过定点(0,1)，函数yaxb的图象过定点(0，b)，1b0.4B5.C6A解析：由axay(0ay，所以x3y3.故选A.7C解析：由题意知f(x)f(x)，即，所以(1a)(2x1)0，故a1.f(x).由f(x)3得，12x2，所以0x1.故选C.8(，8解析：当x1时，由ex12
38、，解得x1ln2，则x1；当x1时，由x2，解得x238，则1x8.综上所述，x(，89解：函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图D69.图D69当k0时，直线yk与函数y|3x1|的图象无交点，即方程无解；当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解10解：(1)对于任意实数x，函数y都有意义，函数的定义域为R.(2)f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数；(3)解法一：f(x)1，2x0,2x
39、11,02，111，f(x)的值域为(1,1)解法二：yy(2x1)2x12x(y1)y12x.由2x0，得0.解得1y1.f(x)的值域为(1,1)(4)证明：x1，x2R，设x1x2，则2x12x2，2x110,2x210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，因此，y在定义域上是增函数第6讲对数式与对数函数1C解析：a(0,1)，blog2log1，所以cab.故选C.2C解析：pf()lnln(ab)；qfln；rf(a)f(b)ln(ab)因为，由f(x)lnx在(0，)上是增函数，可知ff()，所以qpr.故选C.3D解析：分0a1两种情况进行讨论4B解析：由已知得b5a
40、，b10c，5d10，5a10c，5d10，同时取以10为底的对数可得，alg5c，dlg51，即acd.5B解析：由f(x)为偶函数得m0，所以a11312，b 1514，c2010.所以cab.故选B.61解析：原式lg5lg22lg22lg5lg22121.7(1,2)解析：yloga(2ax)是由ylogau，u2ax复合而成的，又a0，u2ax在0,1上是关于x的减函数，由复合函数关系知ylogau应为增函数，a1.又由于x0,1时yloga(2ax)有意义，u2ax又是减函数，x1时，u2ax取最小值，故只需umin2a0即可，a2.综上可知，所求的取值范围是(1,2)82解析：依
41、题意log2(9x15)log2(43x18)，所以9x1543x18.令3x1t(t0)，所以t24t30，解得t1或t3.当t1时，3x11，所以x1，而91150，所以x1不合题意，舍去；当t3时，3x13，所以x2，921540,321210.所以x2满足条件所以x2是原方程的解9解：(1)f(x)log2(x1)log2(1x)，则解得1x1.故所求函数f(x)的定义域为x|1x1(2)由(1)知，f(x)的定义域为x|1x1，且f(x)log2(x1)log2(1x)log2(x1)log2(1x)f(x)，故f(x)为奇函数(3)f(x)log2，易知f(x)在定义域x|1x01
42、.解得0x0成立的x的解集是x|0x0，得(kx1)(x1)0.又k0，(x1)0.当k1时，函数f(x)的定义域为x|x1；当0k1时，函数f(x)的定义域为.(2)f(x)lnln.函数f(x)在区间10，)上是单调增函数，由复合函数的单调性知，k10，即k0，k.综上所述，实数k的取值范围为.第7讲一次函数、反比例函数及二次函数1D2.B3B解析：y，当a时，ymax.故选B.4.解析：据题意解得m0.52x24解析：f(x)(xa)(bx2a)bx2(2aab)x2a2是偶函数，则其图象关于y轴对称，2aab0b2.f(x)2x22a2.又f(x)的值域为(，4，当x0时，2a24，即
43、a22.f(x)2x24.6(，2解析：f(x)cos2xasinx12sin2xasinx，设sinxt，x，t，f(t)2t2at1，对称轴直线t，若函数在区间上是减函数，则t.a2.7.解析：Ax|x22x30x|x1或x3，因为函数yf(x)x22ax1的对称轴为直线xa0，f(0)10，根据对称性可知要使AB中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f(2)0且f(3)0，即所以即a.8.解析：因为abc0，所以c(ab)所以a2b2(ab)21，即2b22ab2a210.由4a242(2a21)0，解得a.故实数a的最大值为.9解：(1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，由于
44、x4,6，f(x)在4,2上单调递减，在2,6上单调递增f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是直线xa，要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4，a的取值范围是(，6)4，)10解：(1)由图可知f(x)的增区间为(1,0)，(1，)(2)设x0，则x0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x，f(x)f(x)(x)22(x)x22x(x0)f(x)(3)1x2，f(x)x22x，g(x)x22x2ax2，对称轴直线方程为xa1.当a11，即a0时，g(1
45、)12a为最小值；当1a12，即0a1时，g(a1)a22a1为最小值；当a12，即a1时，g(2)24a为最小值综上所述，g(x)min第8讲幂函数1B解析：幂函数f(x)x的图象过点，.解得3.幂函数为f(x)x3.2A解析：f(x)，其定义域为(0，)故选A.3C4B解析：因为函数f(x)(m2m1)是幂函数，所以m2m11.解得m1或m0.因为f(x)f(x)，所以函数f(x)是偶函数当m0时，幂函数为yx3，函数为奇函数；当m1时，yx4.函数是偶函数故选B.5C解析：由指数函数y0.6x在区间(0，)上是单调减函数，可知00.61.50.60.61，又幂函数yx0.6在区间(0，)
46、上是单调增函数，可知1.50.60.60.6，故bac.6A解析：在函数yx1，yx，yx，yx3中，只有函数yx和yx3的定义域是R，且是奇函数故1或3.7A解析：设f(x)x，由图象过点，得.log4f(2)log42log44.8(0,1)解析：根据幂函数的性质，当0x1时，x1时，xx.f(x)0的解集为(0,1)9解：(2)31，01,01,01，3.因此3.同理，可得到.(2)300，且a1)的图象知，a3，y3x，y(x)3x3及ylog3(x)均为减函数，只有yx3是增函数故选B.4C解析：由f(x1)f(x1)知，函数yf(x)的周期为2.当x5时，f(x)1，log5x1；
47、当x5时，log5x1，yf(x)与ylog5x的图象不再有交点函数图象如图D70.故选C.图D7052解析：令x220得x，因为x0，所以x；令2x6lnx0，得62xlnx，在同一直线坐标系内，画出y62x，ylnx的图象(如图D71)，观察知交点有1个，所以原题零点的个数为2.图D716C解析：由f(x)及图象可知，xc，c0，则c0；当x0时，f(0)0，所以b0；当y0，axb0，所以x0，所以a0.故a0，b0，c0.故选C.71解析：由f(1x)f(1x)得函数f(x)关于x1对称，故a1，则f(x)2|x1|，由复合函数单调性得f(x)在1，)上递增，故m1，所以实数m的最小值
48、等于1.8A解析：作函数yf(x)的草图，对称轴为直线x，当直线ya与函数有两个交点(即有两个根)时，x1x22；当直线ya与函数有三个交点(即有三个根)时，x1x2x32；当直线ya与函数有四个交点(即有四个根)时，x1x2x3x44.故选A.9(1)B解析：方法一，由yf(x)的图象知，f(x)当x0,2时，2x0,2，所以f(2x)故yf(2x)图象应为B.方法二，当x0时，f(2x)f(2)1；当x1时，f(2x)f(1)1.观察各选项故选B.(2)解析：由题意作出f(x)在1,3上的示意图如图D72，记yk(x1)1，函数yk(x1)1的图象过定点A(1,1)记B(2,0)，由图象知
49、，方程有四个根，即函数yf(x)与ykxk1的图象有四个交点，故kABk0，kAB，k0.图D7210解：(1)f(x)x22mx3m4有且仅有1个零点方程f(x)0有2个相等实根0，即4m24(3m4)0，即m23m40.m4或m1.方法一，设f(x)的2个零点分别为x1，x2，则x1x22m，x1x23m4.由题意知，即解得5m11，即5m1.m的取值范围为(5，1)(2)令f(x)0，得|4xx2|a0，即|4xx2|a.令g(x)|4xx2|，h(x)a.作出g(x)，h(x)的图象(如图D73)图D73由图象知，当0a4，即4a0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，即f(x)有4
50、个零点故a的取值范围为(4,0)第10讲函数与方程1D解析：选项A：ylnx的定义域为(0，)，故ylnx不具备奇偶性，故A错误；选项B：yx21是偶函数，但yx210无解，即不存在零点，故B错误；选项C：ysinx是奇函数，故C错误；选项D：ycosx是偶函数，且ycosx0xk，kZ，故D项正确2C解析：根据表中数据得f(1)0，f(2)0，f(e)0，所以零点所在的区间是(e,3)3B解析：a，bZ，ba1，a，b是相邻的两个整数，令f(x)lnxx4，则f(1)30，f(2)ln220.f(x)在(2,3)上存在零点，即方程lnxx40在(2,3)上有根又f(x)为增函数，方程lnxx
51、40在(2,3)上有且仅有一根，a2.4B解析：如图D74，yx与ysinx的图象有2个交点，即f(x)在0,2上有2个零点图D745A解析：由f(0)f(1)0，f(a)0，得0a1；由g(1)g(2)0，g(b)0，得1b0，g(a)0.故选A.6D解析：当x0时，f(x)x23x，令g(x)x23xx30，得x13，x21.当x0时，x0，f(x)(x)23(x)，f(x)x23x，f(x)x23x.令g(x) x23xx30，得x32，x420(舍)，函数g(x)f(x)x3的零点的集合是2，1,3故选D.7.解析：本题即求方程ff(x)1的所有根的集合，先解方程f(t)1，即或得t2
52、或t.再解方程f(x)2和f(x)，即或和或得x3或x和x或x.8.解析：设f(x)5x2ax1，依题意，得解得4a.9(1)证明：f(x)ex4x3，f(0)e0320，f(0)f(1)0.f(x)在区间0,1上单调递增f(x)在区间0,1上存在唯一零点f(x)在区间0,1上存在唯一的极小值点取区间0,1作为起始区间，用二分法逐次计算如下：f(0.5)0.60，而f(0)0，极值点所在区间是0,0.5；又f(0.3)0.50，g(x)在1，)上单调递增g(x)ming(1)e1，ae1，即a的取值范围是(，e110解：(1)方法一，f(x)是二次函数，不等式f(x)0的解集是(0,5)，可设
53、f(x)ax(x5)，a0.f(x)2ax5a.函数f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线6xy10平行，f(1)6.2a5a6.解得a2.f(x)2x(x5)2x210x. 方法二，设f(x)ax2bxc，不等式f(x)0的解集是(0,5)，方程ax2bxc0的两根为0,5.c0,25a5b0.f(x)2axb.又函数f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线6xy10平行，f(1)6.2ab6.由，解得a2，b10.f(x)2x210x.(2)由(1)知，方程f(x)0等价于方程2x310x2370.设h(x)2x310x237，则h(x)6x220x2x(3x10)当x时，h(x)0，函
54、数h(x)在上单调递减； 当x时，h(x)0，函数h(x)在上单调递增h(3)10，h0，h(4)50，方程h(x)0在区间，内分别有唯一实数根，在区间(0,3)，(4，)内没有实数根存在唯一的自然数t3，使得方程f(x)0在区间(t，t1)内有且只有两个不相等的实数根第11讲抽象函数1C解析：假设f(x)ax，f(x)f(y)axayaxyf(xy)2A解析：函数f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(0)0.由对于任意的x1x2，且x1，x2R，满足不等式0，知函数f(x)在R上单调递增，所以由f(x3)0f(0)，得x30.因此x0，代入，得f(1)f(x1)f(x1)0.故f(1)0.(
55、2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1.由于当x1时，f(x)0，f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)0时，由f(|x|)2，得f(x)9；当x0时，由f(|x|)2，得f(x)9，即x9，或x910解：设1x10.x1x20，f(x1)f(x2)0.f(x1)f(x2)又f(x)是奇函数，f(x2)f(x2)f(x1)b，f(a)f(b)(2)由ff，得x.不等式的解集为.(3)由1xc1，得1cx1c.Px|1cx1c由1xc21，得1c2x1c2.Qx|1c2x1c2PQ，1c1c2.解得c2或c0，当t3.75时，p取最大值故此时的t3.75分钟为最佳加工时间故选B.5
56、C解析：不超过200元，则不给予优惠；200元至500元部分节省(500200)(190%)30元；超过500元的部分给予8折优惠，节省了33030300元，则超过500元的部分为300(180%)1500元，故该件家电在商场标价为2000元62500 m2解析：方法一，设所围场地的长为x，则宽为，其中0x200，场地的面积为x22500(m2)，当且仅当x100时等号成立方法二，场地的面积为x(x2200x)(x100)22500，当x100时，有最大值2500.7A解析：设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为242xx(x1)，所以x年的平均费用为yx
57、1.5，由基本不等式得yx1.52 1.521.5，当且仅当x，即x10时取等号故选A.8解：(1)设P(t)依题意及图象，得及解得及故P(t)(2)依题意，设Q(t)k3tb3,0t30，tN*.把表中前两组数据代入，得解得故Q(t)t40,0t30，tN*.(3)依题意，当0t20，tN*时，y(t40)(t15)2125；当20t30，tN*时，y(t40)(t60)240.故y关于t的函数关系式为y若0t20，tN*，则当t15时，ymax125(万元)；若20t30，tN*，则y(2060)240120(万元)答：第15天日交易额最大，最大值为125万元9解：(1)t1h，设此时甲运
58、动到点P，则APv甲t1千米，所以f(t1)PC(千米)(2)当t1t时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，所以QBACCB8t78t，PBABAP55t.所以f(t)PQ.当tt时，乙在B点不动，设此时甲在P点，所以f(t)PBABAP55t.所以f(t)所以当t1时，f(t)，故f(t)的最大值不超过3.第13讲导数的意义及运算1D解析：函数f(x)a3sinx的自变量为x，a为常量，所以f(x)cosx.故选D.2C3A解析：由已知，得g(1)2，而f(x)g(x)2x，所以f(1)g(1)214.故选A.4B解析：因为第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量V48
59、升而这段时间内行驶的里程数s35 60035 000600千米所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为1008升故选B.5(e，e)解析：ylnx1，设切点(a，b)，则klna12，ae.又balnae，P的坐标是(e，e)6解析：因为f(x)fsinxcosx，所以f(x)fcosxsinx，所以ffcossin，即f1.所以f(x)sinxcosx.f(x)cosxsinx.故fcossin.732解析：st32t25，st24t.s32433，即物体在t3时的瞬时速度为3；(s)(t24t)2t4，2t4642，即物体在t3时的加速度为2.82解析：由条件知f(5)1，又在点P处的
60、切线方程为yf(5)(x5)， yx5f(5)，即yx8.5f(5)8.f(5)3.f(5)f(5)2.9解：(1)f(x)axb2 bb2，当且仅当ax时，f(x)的最小值为b2.(2)由题意，得f(1)ab，f(x)af(1)a. 由，解得a2，b1.10解：(1)P(2,4)在曲线yx3上，且yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率ky|x24；曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率kyx，切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点P(2,4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40，(x01)
61、(x02)20.解得x01或x02，故所求的切线方程为4xy40或xy20.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为kx4, x02.切点为(2,4)，切线方程为y44(x2)和y4(x2)，即4xy40和12x3y200.第14讲导数在函数中的应用1A解析：由函数f(x)的图象看出，在y轴左侧，函数有两个极值点，且先增后减再增，在y轴右侧函数无极值点，且是减函数，根据函数的导函数的符号和原函数单调性间的关系可知，导函数在y轴左侧应有两个零点，且导函数值是先正后负再正，在y轴右侧无零点，且导函数值恒负，由此可以断定导函数的图象是A的形状故选A.2A解析：由函数f(x)的图象可知a0，令x0
62、d0.又f(x)3ax22bxc，可知x1，x2是f(x)0的两根，由图可知x10，x20，故选A.3D解析：由于f(x)k0x(1，)，则k恒成立，即kmax.因为y在(1，)上单调递减，所以max1.所以k1.4A解析：因为三次函数的图象与x轴恰有两个公共点，结合该函数的图象，可得极大值或者极小值为零即可满足要求而f(x)3x233(x1)(x1)，当x1时取得极值，由f(1)0或f(1)0可得c20或c20，即c2.5C解析：设函数f(x)exlnx，且g(x)，对函数求导可得f(x)ex，g(x).因为x(0,1)，所以f(x)符号不确定，且g(x)g(x2)x2ex1x1ex2.故选
63、C.6A解析：记函数g(x)，g(x)，因为当x0时，xf(x)f(x)0，则当x0时，g(x)0.所以g(x)在(0，)上单调递减；又因为f(x)是奇函数，所以g(x)为偶函数，所以g(x)在(，0)上单调递增又g(1)g(1)0，当0x1时， g(x)0，所以f(x)0；当x1时， g(x)0，所以f(x)0.故使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)故选A.7y解析：yf(x)xexf(x)(1x)ex，令f(x)0x1，此时f(1)，函数yxex在其极值点处的切线方程为y.8(0,1)(2,3)解析：由题意知f(x)x4，由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只
64、要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t3.9解：对函数f(x)求导，得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于yx知kf(1)a2，a.(2)由(1)知f(x)，令f(x)0，得x1(舍)或x5，当x(0,5)时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(5，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，因此函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln5.10(1)解：函数f(x)x2lnx的定义域为(0，)，f(x)1. 令f(x)0, 得x22xa0, 其判别式44a.当0，即a1时， x22xa0，f(x)0
65、当且仅当a1，x1时f(x)0此时，f(x)在(0，)上单调递增； 当0, 即a1时， 方程x22xa0的两根为x11，x211，若a0, 则x10.则x(0，x2)时， f(x)0, x(x2，)时， f(x)0, 此时， f(x)在(0，x2)上单调递减， 在(x2，)上单调递增； 若a0，则x10. 则x(0，x1)时， f(x)0，x(x1，x2)时， f(x)0, x(x2，)时， f(x)0, 此时， f(x)在(0，x1)上单调递增， 在(x1，x2)上单调递减， 在(x2，)上单调递增综上所述， 当a0时， 函数f(x)在(0,1)上单调递减， 在(1，)上单调递增；当0a1时
66、， 函数f(x)在(0,1)上单调递增， 在(1，1)上单调递减， 在(1，)上单调递增；当a1时， 函数f(x)在(0，)上单调递增. (2)解：由(1)可知， 函数f(x)有两个极值点x1，x2，等价于方程x22xa0在(0，)有两不等实根， 故0a1，即a的取值范围为(0,1). (3)证明：由(1)(2)，得0a1, x21， 且1x22, ax2x2.f(x2)x21x22lnx2x21x22lnx21, 令g(t)t2lnt1, 1t2，则g(t)1.由于1t2, 则g(t)0, 故g(t)在(1,2)上单调递减. 故g(t)g(1)12ln110. f(x2)x21g(x2)0.
67、 f(x2)x21.第15讲导数在生活中的优化问题举例1C解析：设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm.则y(102x)(162x)x4x352x2160x(0x5)y12x2104x160.令y0，得x2或(舍去)ymax6122144 (cm3)2A解析：由题意得f(x)6x218x126(x1)(x2)，由f(x)0得x1或x2.由f(x)0，得1x2，所以函数f(x)在(，1)，(2，)上单调递增，在(1,2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)，f(2)，若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点，则需使f(1)0或f(2)0，解得a5或a4，而选项中只给出了4
68、.故选A.3C4D解析：设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为Vx(400x2)，0x20，V(4003x2)，令V0，解得x.当0x时，V0；当x20时，V0，所以当x cm时，V取最大值5，1解析：f(x)1，当0a1，且x1，e时，f(x)0，f(x)在1，e上是增函数，f(x1)minf(1)1a2.又g(x)1(x0)，易求g(x)0，g(x)在1，e上是增函数，g(x2)maxg(e)e1.由条件知只需f(x1)ming(x2)max，即1a2e1.a2e2.即a1.6.解析：f(x)exxexex(1x)，当x1时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，函数f(
69、x)单调递减，所以函数f(x)的最小值为f(1).而函数g(x)的最大值为a，则由题意，可得a，即a.7解析：对于，因为f(x)2xln20恒成立，故正确；对于，取a8，即g(x)2x8，当x1，x24时n0，错误；对于，令f(x)g(x)，即2xln22xa记h(x)2xln22x，则h(x)2x(ln2)22，存在x0(0,1)，使得h(x0)0，可知函数h(x)先减后增，有最小值因此，对任意的a，mn不一定成立错误；对于，由f(x)g(x)，即2xln22xa，令h(x)2xln22x，则h(x)2x(ln2)220恒成立，即h(x)是单调递增函数，当x时，h(x)，当x时，h(x)，因
70、此对任意的a，存在ya与函数h(x)有交点正确8解析：令f(x)x3axb，求导得f(x)3x2a，当a0时，f(x)0，所以f(x)单调递增，且至少存在一个数使f(x)0，至少存在一个数使f(x)0，所以f(x)x3axb必有一个零点，即方程x3axb0仅有一根，故正确；当a0时，若a3，则f(x)3x233(x1)(x1)，易知，f(x)在(，1)，(1，)上单调递增，在1,1上单调递减，所以f(x)极大f(1)13bb2，f(x)极小f(1)13bb2，要使方程仅有一根，则f(x)极大f(1)b20或者f(x)极小f(1)b20，解得b2或b2，故正确所以使得三次方程仅有一个实根的是.9
71、解：(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x.因为f(x)在x处取得极值，所以f0，即3a20.解得a.(2)由(1)，得g(x)ex.故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0，解得x0，x1或x4.当x4时，g(x)0，故g(x)为减函数，当4x1时，g(x)0，故g(x)为增函数，当1x0时，g(x)0，故g(x)为减函数，当x0时，g(x)0，故g(x)为增函数，综上所述，g(x)在(，4)和(1,0) 内为减函数，(4，1)和(0，)内为增函数10解：(1)由题意知，点，的坐标分别为，(20,2.5)将其分别代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，则点的坐标
72、为.设在点处的切线l交x，y轴分别于，点，y，则l的方程为y(xt)，由此得，.故f(t) ，t5,20设g(t)t2，则g(t)2t.令g(t)0，解得t10 .当t(5,10 )时，g(t)0，g(t)是减函数；当t(10 ，20)时，g(t)0，g(t)是增函数从而，当t10 时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min300，此时f(t)min15 .答：当t10 时，公路l的长度最短，最短长度为15 千米专题一函数与导数1B解析：设m(x)f(x)(2x4)，m(x)f(x)20，m(x)在R上是增函数m(1)f(1)(24)0，m(x)0的解集为x|x1，即f(x)2x
73、4的解集为 (1，)2A解析：构造函数g(x)exf(x)ex1，求导得到g(x)exf(x)exf(x)ex exf(x)f(x)1由已知f(x)f(x)1，可得到g(x)0，所以g(x)为R上的增函数又g(0)e0f(0)e010，所以exf(x)ex1，即g(x)0的解集为x|x03B解析：设单价为q0，由题意q2，当x100时，q50，kq2x502100250 000.q2x250 000，q.总利润yxqC(x)x.令y5003x20，解得x25.当0x25时，y0；当x25时，y0，当x25时，总利润最大4C解析：f(x)x22axb在1,3上有f(x)0，设设abmunvm(2
74、ab)n(6ab)(2m6n)a(mn)b，对照参数：2m6n1，mn1，解得m，n，abuv2，则ab的最小值为2.5A解析：函数f(x)x33x的图象如图D75，当c5时，f(x0)2，只有一个解，故命题p错误；当c(2,2)时，方程f(f(x)c有f(x)x1，f(x)x2，f(x)x3，其中x1，x2，x3(2,2)，则f(x)x1，f(x)x2，f(x)x3每个方程都有3个根，故原方程有9个实根，故命题q正确；当c2时，方程f(f(x)2，f(x)1或f(x)2，方程f(x)1有3个根，方程f(x)2有2个根，所以方程f(f(x)2有5个实根故命题r正确故选A.图D756解：(1)对
75、f(x)求导得f(x)，因为f(x)在x0处最得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化简，得3xey0.(2)由(1)，得f(x)，令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0，解得x1，x2.当xx1时，g(x)0，故f(x)为减函数；当x1xx2时，g(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，故f(x)为减函数；由f(x)在3，)上为减函数，知x23，解得a.故a的取值范围为.7解：(1)f(x)的定义域为R，f(x)3x233(x1)(x1). 因为当x1或x1时，f(x)0；
76、当1x1时，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)，单调递减区间为(1,1)(2)方法一，由(1)知，g(x)0在(，1)和(1，)上单调递增，在(1,1)上单调递减；所以g(x)在x1处取得极大值g(1)2m，在x1处取得极小值g(1)2m.因为g(x)在上有三个零点，所以有 即解得m2.故实数m的取值范围为.方法二，要函数g(x)f(x)m在上有三个零点，就是要方程g(x)f(x)m0在上有三个实根，也就是只要函数yf(x)和函数ym的图象在上有三个不同的交点由(1)知，f(x)在(，1)和(1，)上单调递增，在(1,1)上单调递减；所以f(x)在x1处取得极大值f(1
77、)2，在x1处取得极小值f(1)2.又f，f(3)18.故实数m的取值范围为.(3)对任意的x1，x2，都有f(x1)h(x2)恒成立，等价于当x时，f(x)maxh(x)min成立. 由(1)知，f(x)在上单调递减，在1,2上单调递增，且f，f(2)2，所以f(x)在上的最大值f(x)max2.h(x)exe，令h(x)0，得x1.因为当x1时，h(x)0；当x1时，h(x)0；所以h(x)在上单调递减，在1,2上单调递增；故h(x)在上的最小值h(x)minh(1)4n22n.所以4n22n2，解得n或n1，故实数n的取值范围是1，)8解：(1)f(x)a ，显然，当x时，f(x)0，当
78、x时，f(x)0 ，故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，因此函数f(x)在 (0，)上有极大值flna1a0，lnaa1，解得a1.(2)f(x)a，若e，即0a，则当x时，有f(x)0.函数f(x)在上单调递增，则f(x)maxf(e)1eaa.若e，即ae，则函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，f(x)maxflna1a.若，即ae，则当x时，有f(x)0，函数f(x)在上单调递减，则f(x)maxf1a.综上得，当0a时，f(x)max1eaa；当ae时，f(x)maxlna1a；当ae时，f(x)max1a.(3)要证明，只需证明，只需证明(lnx1lnx2)，即证明ln，不妨设x1x20，令t，则t1，则需证明lnt0.令(x)lnt(t1)，则(x)0.(t)在(1，)上单调递减(t)(1)0，即lnt0.故不等式得证