1、第三十四讲 基本不等式及其应用回归课本1.算术平均数如果a,bR+,那么叫做这两个正数的算术平均数.2.几何平均数如果a,bR+,那么叫做这两个正数的几何平均数.3.重要不等式如果a,bR,则a2+b22ab(当且仅当a=b时,取“=”);均值定理:如果a,bR+,那么(当且仅当a=b时,取“=”).均值定理可以叙述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.5.已知x、y都是正数,则(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取最大值(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值.应用此结
2、论要注意三个条件;“一正二定三相等”,即:各项或各因式为正;和或积为定值;各项或各因式都能取得相等的值.考点陪练1.函数y=log2x+logx2的值域是()A.(-,-2B.2,+)C.-2,2D.(-,-22,+)答案:D2.已知x+3y=2,则3x+27y的最小值为()答案:A答案:C答案:B答案:D类型一证明不等式解题准备:证明不等式是均值不等式的一个基本应用,注意分析不等式的左右两边的结构特征,通过拆(添)项创设一个应用均值不等式的条件.在解决本类问题时注意以下几点:(1)均值不等式成立的前提条件;(2)通过加减项的方法配凑成算术平均数、几何平均数的形式;(3)注意“1”的代换;(4
3、)灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用.【典例1】证明:a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).分析利用a2+b22ab(a,bR)求证即可.证明a4+b42a2b2,b4+c42b2c2,c4+a42c2a2,2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2,又a2b2+b2c22ab2c,b2c2+c2a22abc2,c2a2+a2b22a2bc,2(a2b2+b2c2+c2a2)2(ab2c+abc2+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c).即原
4、命题可得证.类型二 求最值解题准备:1.利用基本不等式可以求一些函数或代数式的最值.2.应用重要不等式和基本不等式可以得到一些常用的不等式,主要有:类型三利用均值不等式解应用题解题准备:均值不等式作为求最值的常用工具,经常在有关最优解的实际问题中应用.应用均值不等式解决实际问题的基本步骤是:仔细阅读题目,透彻理解题意;分析实际问题中的数量关系,引入未知数,并用它表示其它的变量,把要求最值的变量设为函数;应用均值不等式求出函数的最值;还原实际问题,作出解答.【典例3】某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单价为400元/m,中间两道隔
5、墙建造单价为248元/m,池底建造单价为80元/m2,水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16 m,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.反思感悟不等式应用的特点是:(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题,如“物价税收销售市场信息”等,题目往往篇幅较长.(2)建立函数模型常见的有“正(反)比例函数一次函数二次函数指数函数对数函数三角函数,以及”等形式.解函数应用题中的最值问题一般利用二次函数的性质或基本不等式来解决.错源一忽视等号成立的条件 剖析解法一和解法二的错误原因是等号同时
6、成立的条件不具备,因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件,只有等号成立时,所求出的最值才是正确的.错源二 忽视均值不等式应用条件致误答案(-,-13,+)技法一 快速解题(三角换元)【典例1】已知a、b、c、dR,x、yR+,且x2=a2+b2,y2=c2+d2.求证:xyac+bd.快解联想到圆的参数方程,设a=xcos,b=xsin,c=ycos,d=ysin,则ac+bd=xycoscos+xysinsin=xycos(-)xy.另解切入点有a2+b2、c2+d2的形式出现,就可以用a2+b22ab.由于a、b、c、dR,故ac+bd可能为正,也可能为负.当ac+bd0的情况.证明证
7、法一:当ac+bd0时,显然有xyac+bd成立.当ac+bd0时,x2y2=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2a2c2+b2d2+2abcd=(ac+bd)2,即xyac+bd.证法二:当ac+bd0、-1cos(-)1就行了.得分主要步骤本题证明步骤简单,但需考虑ac+bd或正或负的两种情况.若ac+bd0,则(ac+bd)2与x2y2的大小不能确定,证题时需注意此处.易丢分原因没有考虑到ac+bd0还是ac+bc0.技法二 如何解决含有多个变量的条件最值问题求解含有多个变量的条件最值问题,一般方法是利用给出的条件,通过代换减少变量的个数,将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决.如果条件等式中含有两个变量的和与积的形式,可以直接利用均值不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解,或者通过构造一元二次方程,根据已知变量的取值范围,利用根的分布解决问题.方法与技巧本题是一道条件下求代数式的最值的问题.解题思路是利用给出的条件,用a来表示b,从而在所求问题中消去b,利用均值不等式转化成函数的最值求解.
