1、第七模块 不等式 推理与证明(必修5：第三章 不等式；选修12：第二章 推理与证明)第三十一讲 不等关系与不等式名师指导练基础回归课本1.不等式的定义在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号0ab;a-b=0a=b;a-b0a0,则有1ab;=1a=b;1ab,那么ba;如果bb.性质2:传递性如果ab,且bc,那么ac.也可等价表示为:如果cb,且ba,那么cb,那么a+cb+c.推论1:移项法则如果a+bc,那么ac-b.推论2:同向可加性如果ab,且cd,那么a+cb+d.性质4:乘法法则如果ab,且c0,那么acbc;如果ab,且c0,那么acb0,且cd0,那么
2、acbd.推论2:乘方法则如果ab0,那么anbn(nN*,且n1).推论3:开方法则如果ab0,那么(nN*,且n1).注意:运用上述性质解决问题时,必须注意性质成立的条件.如:同向不等式相乘时,注意ab0,cd0.考点陪练1.已知ab,则可以推出()A.B.ac2bc2C.D.(ac)2(bc)2答案:B2.“a2且b2”是“a+b4,且ab4”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A3.若x+y0,a0,则x-y的值为()A.大于0 B.等于0C.小于0 D.符号不能确定答案:A4.已知a,b,c满足cba,且acac B.c(b-a)0C.
3、cb20答案:A答案:D 名师讲解练思维类型一用不等式表示不等关系解题准备:1.我们用数学符号“”、“”、“”、“”、“”连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子,叫做不等式.2.ab的含义是指“或者ab,或者a=b”,等价于“a不小于b”.【典例1】某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超过1000万元的奖金购买单价分别为40万元90万元的A型汽车和B型汽车.根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.反思感悟 (1)将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换
4、,这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系.常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表:文字语言数学符号文字语言数学符号大于至多小于”、“b0,cd0.深刻理解不等式的性质时,把握其逻辑关系,才能正确应用不等式性质解决有关不等式的问题.【典例2】下列各命题是否成立?如不成立,能否适当添加条件使命题成立?(1)若ac2bc2,则ab;(2)若ab,则-ac-bc;(3)若ab,则(4)若ab,cd,则acbd.解 (1)命题成立(2)“c0”(4)需添加“c0,b0”或“a0且d0”或“c0且b0”可使命题成立.对照不等式的运算性质,还可添加“b0且d0”也可使命题成立.类型三比较大小解题准备
5、:作差法比较大小的步骤是:作差变形判断差的符号下结论.作商法比较大小的步骤是:作商变形判断商与1的大小下结论.其中变形是关键,变形方法主要是通分、因式分解和配方等,变形要彻底,要有利于与0或1比较大小.类型四利用不等式的性质求范围解题准备:1.在处理此类问题时,严格根据不等式的基本性质和运算法则,是正确解答此类题目的保证.2.此类问题中的参数不是相互独立的,而是相互制约的,故不可分割开来.应先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等式关系的运算求得待定整体的范围.这是避免此类题目出错的一条途径.【典例4】设f(x)=ax2+bx,1f(-1)2,2f(1)4,求f(
6、-2)的取值范围.分析 利用f(-1)与f(1)表示出a,b,然后再代入f(-2)的表达式中,从而用f(-1)与f(1)表示f(-2),最后运用已知条件确定f(-2)的取值范围.此题还可用线性规划求解.名师纠错补漏洞错源链式不等式组认识不到位剖析 因为条件中有,解题时往往忽略这个条件,致使解错.在研究范围问题时,一定要看清变量间有无内在联系,要确定准独立变量,以免产生错误.名师技法练智力技法一平方作差法两正数大小的比较,可用平方比较法去掉绝对值或根号.【典例1】设0 x0,a1,试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.解题切入点 因为两式皆正,故可采用平方作差法,去除绝对值符号.技法二化简比较法 解题切入点 当n为正数时可用作商法,只需将商式与1进行比较.方法与技巧 作商法需要注意商式分母必须为正,一般地,比较指数式的大小用作商法较简单(如a,b0时,比较aabb与baab的大小).本题用作差法也比较简单,同学们不妨一试.
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