1、第五章数列第一节 数列的概念与简单表示法最新考纲考情分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数1.本节在高考中主要考查简单数列的通项公式的求解、数列的前 n 项和 Sn与通项 an的关系以及简单的递推数列等问题2命题形式多种多样，三种题型都有可能出现，试题难度中等.课时作业01知识梳理 诊断自测02考点探究 明晰规律01 知识梳理 诊断自测 课前热身 稳固根基 知识点一 数列的概念1数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限
2、子集1,2,3，n)为定义域的函数 anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值3数列的表示法：列表法、图象法和通项公式法知识点二 数列的分类知识点三 数列的通项公式1通项公式：如果数列an的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以用一个式子 anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式数列通项公式的注意点(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一；(3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的2递推公式：如果已知数列an的第 1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项
3、 an 与它的前一项 an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列()(2)根 据 数 列 的 前 几 项 归 纳 出 数 列 的 通 项 公 式 可 能 不 止 一个()(3)1,1,1,1，不能构成一个数列()(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列()(5)如果数列an的前 n 项和为 Sn，则对nN*，都有 an1Sn1Sn.()2小题热身(1)已知数列 112，123，134，1nn1，下列各数中是此数列中的项的是()A.135 B.142
4、 C.148 D.154B(2)在数列an中，a11，an1 1an1(n2)，则 a4()A.32 B.53 C.74 D.85B解析：由题意知，a11，a22，a332，a453.(3)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式 an.5n4解析：由 a11514，a26524，a311534，归纳 an5n4.(4)设数列an的前 n 项和 Snn2，则 a7a8 的值为.(5)已知数列an满足 a11，an1a2n2an1(nN*)，则a2 018.28解析：a7a8S8S6826228.0解析：a11，a2(a11)20，a3(a21)21，a4(a31)20，可知
5、数列an是以 2 为周期的数列，a2 018a20.02 考点探究 明晰规律 课堂升华 强技提能 考点一 由数列的前几项归纳数列的通项公式【例 1】(1)数列 1，4,9，16,25，的一个通项公式是()Aann2Ban(1)nn2Can(1)n1n2Dan(1)n(n1)2(2)把 1,3,6,10,15，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示)则第 7 个三角形数是()A27 B28 C29 D30CB【解析】(1)解法 1：该数列中第 n 项的绝对值是 n2，正负交替的符号是(1)n1，故选 C.解法 2：将 n2 代入各选项，排除 A，B，D，故选 C
6、.(2)观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是该项的序号，即 anan1n(n2)所以根据这个规律计算可知，第 7 个三角形数是 a7a67a567156728.故选 B.方法技巧由数列的前几项归纳数列通项公式的常用方法：观察观察规律、比较比较已知数列、归纳、转化转化为特殊数列、联想联想常见的数列等方法.同时也可以使用添项、还原、分割等方法，转化为一个常见数列，通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式.1在数列 1,2，7，10，13，中 2 19是这个数列的第项26解析：数列 1,2，7，10，13，即数列 1，311，321，331，341，所以该数列的通项公
7、式为 an 3n11 3n2，所以 3n22 19 76，所以 n26，故 2 19是这个数列的第 26 项2若有穷数列 a1，a2，an(nN*)满足 anan1an2an3，就称该数列为“相邻等和数列”，已知各项都为正整数的数列an是项数为 8 的“相邻等和数列”，且 a1a28，a2a39，则满足条件的数列an有个4解析：设 a1a，由题意知，a28a，a31a，a47a，a52a，a66a，a73a，a85a.因为数列an各项都为正整数，所以 1a4，aN*，则满足条件的数列an有 4 个考点二 由 an 与 Sn的关系求通项公式【例 2】(1)数列an的前 n 项和为 Snn2n1，
8、bn(1)nan(nN*)，则数列bn的前 50 项和为()A49 B50 C99 D100(2)数列an满足12a1 122a2123a3 12nan2n1，则数列an的通项公式为_Aan6，n1，2n1，n2【解析】(1)当 n1 时，a1S13.当 n2 时，anSnSn12n(n2)，an3，n1，2n，n2，b1b2b50(34)(68)(98100)122449，故选 A.(2)当 n2 时，12a1 122a2123a3 12n1an12n1，与已知等式相减得 12nan2，即 an2n1.又当 n1 时，由12a13，得a16，不满足上式，故 an6，n1，2n1，n2.方法技
9、巧已知 Sn 求 an 的常用方法是利用 anS1，n1，SnSn1，n2转化为关于 an 的关系式，再求通项公式主要分三个步骤完成：1先利用 a1S1，求得 a1.2用 n1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系式，利用 anSnSn1n2便可求出当 n2，nN*时的通项公式.3对 n1 时的结果进行检验，看是否符合 n2，nN*时an 的表达式，如果符合则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n1 与 n2 两段来写.1已知数列an满足 a12a23a3nann1(nN*)，则数列an的通项公式为.an2，n1，1n，n2解析：已知 a12a23a3nann1.将 n1 代入，
10、得 a12；当 n2 时，将 n1 代入得 a12a23a3(n1)an1n，两式相减得 nan(n1)n1，所以 an1n，所以 an2，n1，1n，n2.2设 Sn 是数列an的前 n 项和，且 a11，an1SnSn1，求 an.解：由已知得 an1Sn1SnSn1Sn，两边同时除以 Sn1Sn，得 1Sn1 1Sn1，故数列1Sn 是以1 为首项，1 为公差的等差数列，则 1Sn1(n1)n，所以 Sn1n.当 n2 时，anSnSn11n 1n11nn1，故 an1 n1，1nn1n2.考点三 由数列的递推公式求通项公式【例 3】(1)设数列an满足 a11，且 an1ann1(nN
11、*)，则数列an的通项公式为_(2)在数列an中，a11，ann1n an1(n2)，则数列an的通项公式为_(3)已知数列an满足 a11，an13an2，则数列an的通项公式为_ann2n2(nN*)an1n(nN*)an23n11(nN*)【解析】(1)累加法由题意得 a2a12，a3a23，anan1n(n2)，以上各式相加，得 ana123n.又a11，an123nn2n2(n2)当 n1 时 a11 也满足上式，ann2n2(nN*)(2)累乘法ann1n an1(n2)，an1n2n1an2，an2n3n2an3，a212a1.以上(n1)个式子相乘得ana11223n1n a1
12、n 1n.当 n1 时，a11，上式也成立an1n(nN*)(3)构造法an13an2，an113(an1)，an11an1 3，数列an1为等比数列，公比 q3，又 a112，an123n1，an23n11(nN*)方法技巧 1.设数列an满足 a13，an1an1nn1，则通项公式 an.41n解析：原递推公式可化为 an1an1n 1n1，则 a2a11112，a3a21213，a4a31314，an1an2 1n21n1，anan1 1n11n，以上(n1)个式子的等号两端分别相加得，ana111n，故 an41n.2设数列an满足 a11，an12nan，则通项公式 an.2nn12
13、解析：由 an12nan，得 anan12n1(n2)，所以 an anan1an1an2a2a1a12n12n2212123(n1)2nn12.又 a11 适合上式，故 an2nn12.3在数列an中，a13，且点 Pn(an，an1)(nN*)在直线 4xy10 上，则数列an的通项公式为.an103 4n113解析：因为点 Pn(an，an1)(nN*)在直线 4xy10 上，所以 4anan110，即 an14an1，得 an1134an13，所以an13 是首项为 a113103，公比为 4 的等比数列，所以 an13103 4n1，故 an103 4n113.考点四 数列的函数性质
14、应用命题方向 1 周期性的应用【例 4】(2020贵阳监考)已知数列an中，a13，a27.当 nN*时，an2 是乘积 anan1 的个位数，则 a2 019_.1【解析】a13，a27，a1a221，a31，a2a37，a47，a3a47，a57，a4a549，a69，a5a663，a73，a6a727，a87，a7a821，a91，a8a97，所以数列an是周期为 6 的数列，又 2 01963363，所以 a2 019a31.命题方向 2 单调性的应用【例 5】(1)已知数列an满足 2Sn4an1，当 nN*时，(log2an)2log2an是递增数列，则实数 的取值范围是_(2)已
15、知数列an的通项公式为 an(n2)78n，则当 an 取得最大值时，n_.(1，)5 或 6【解析】(1)2Sn4an1,2Sn14an11(n2)，两式相减可得 2an4an4an1(n2)，an2an1(n2)又 2a14a11，a112，数列an是公比为 2 的等比数列，an2n2，设 bn(log2an)2log2an(n2)2(n2)，(log2an)2log2an是递增数列，bn1bn2n30 恒成立，32n 恒成立，(32n)max1，1，故实数 的取值范围是(1，)(2)当 an 取得最大值时，有anan1，anan1，n278nn178n1，n278nn378n1，解得n6，n5，当 an 取得最大值时，n5 或 6.方法技巧(1)解决数列的单调性问题的三种方法作差比较法根据 an1an 的符号判断数列an是递增数列、递减数列或是常数列作商比较法根据an1an(an0 或 an0 恒成立，即当 nN*时 4n2 恒成立因为(4n2)max4126，所以 6.温示提馨请 做：课时作业 33PPT文稿（点击进入）