1、2021年河南省“顶尖计划”高考数学第三次考试试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.）1的虚部为（）ABCD2已知集合AxN|x2，Bx|x240，则AB（）A2B2，0，1，2C0，1，2D2，1，23已知两条不同的直线l，m和平面，m，则l是lm的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件4若抛物线y22px（p0）上的点A（3，y0）到焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，则y0等于（）A6B6C12D125函数f（x）2x+cos2x的图象在点（，f（）处的切线方程为（）ABCD6已知函数f（x）2sin（2x+）+b（0）有相邻的两个零点和，则b（）A1
2、BCD17（x2+2x3）5的展开式中x的系数为（）A810B405C190D6758下面是某手机APP的图标，其设计灵感来源于传统照相机快门的机械结构该图形是一个正六边形和六个全等的“曲边三角形”拼成的一个圆，且ABBC若在圆内随机取一点，则该点取自正六边形内部的概率为（）ABCD9已知（）且tan（2），则的值为（）AB1C1D10若圆x2+y26上的两个动点A，B满足|2，点M在圆x2+y216上运动，则|的最小值是（）A2B3C4D511设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x0时，f（x）log4（3x）若对任意的x0，b+1，均有f（x+b）f（2x），则实数b的最大值是（）ABC0
3、D112在ABC中，AB3，AC2BC，则ABC的面积的取值范围是（）A（0，2B1，3C（0，3D（0，6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13若alog43，则3a+9a 14已知平面区域D是以点A（1，3），B（2，0），C（2，1）为顶点的三角形区域（含边界），若在区域D内存在无穷多个点（x，y）能使目标函数zx+my取得最小值，则m 15过双曲线C：1（a0，b0）的右焦点F作x轴的垂线，与双曲线C及其一条渐近线在第一象限分别交于A，B两点，且2（O为坐标原点），则该双曲线的离心率是 16正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，AC1平面，BD平面，则正方体在平面内的
4、正投影面积为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17已知数列an的前n项和为Snn2n（）求an的通项公式；（）求数列ansin（n）前2021项之和18如图，四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面均为菱形、CC1平面ABCD，BAD60，A1ADA1AB45，AB2A1B12（）证明：平面A1AB平面A1AD；（）求直线CA1与平面A1AB所成角的正弦值19某工厂的某种产品成箱包装每箱100件，每箱产品在交付用户之前至多要作两轮检验，先从这箱产品中随机抽
5、取10件作初检，根据初检结果决定是否再抽取10件进行复检如检验出不合格品，则更换为合格品，每件产品的检验费用为50元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付200元赔偿费用（）假设某箱产品中仅有2件不合格品，求这2件不合格品在初检时都被抽到的概率（）若初检时检验出x（xN且0x10）件不合格品，则认为该箱剩余的每件产品为不合格品的概幸均为，且各件产品是否为不合格品相互独立以一箱产品的检验费用和赔偿费用之和的期望值为决策依据，分析x为何值时，不需要进行复检20已知椭圆：1（ab0）的右焦点为F（c，0）（c0），离心率为，经过F且垂直于x轴的直线交于第一象限的点M，O为坐标原点，且
6、|OM|（）求椭圆的方程；（）设不经过原点O且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，A，B关于原点O对称的点分别是C，D，试判断四边形ABCD的面积有没有最大值若有，请求出最大值；若没有，请说明理由21已知函数f（x）2ex2+ax（）讨论函数f（x）的单调性；（）对任意x0，求证：f（x）x（lnx+a）（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，选修4-4：坐标系与参数方程22在极坐标系中，已知曲线C：（）若0a1，曲线C与极轴所在直线交于A，B两点，且|AB|4，求a的值；（）若a1，直线l1，l2经过极点且相互垂直，l1与C交于P，Q两点，l
7、2与C交于M，N两点，求|PQ|+|MN|的最小值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x1|+|x+1|（）解关于x的不等式f（x）8；（）若不等式f（x）k|x|恒成立，求实数k的取值范围参考答案一、选择题（共12小题）.1的虚部为（）ABCD解：，故其虚部为：，故选：D2已知集合AxN|x2，Bx|x240，则AB（）A2B2，0，1，2C0，1，2D2，1，2解：x240，x2，B2，2，AxN|x20，1，2，AB2，0，1，2，故选：B3已知两条不同的直线l，m和平面，m，则l是lm的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解：若l，不能说明直线
8、l平行于平面内的任意一条直线，所以不一定有lm，故充分性不成立，若lm且m，也不能说明l，因为还有可能l，故必要性不成立，故选：D4若抛物线y22px（p0）上的点A（3，y0）到焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，则y0等于（）A6B6C12D12解：抛物线y22px（p0）上的点A（3，y0）到焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，可得3+9，解得p12，所以抛物线方程为：y224x，抛物线y22px（p0）上的点A（3，y0），可得y02243，解得y0故选：A5函数f（x）2x+cos2x的图象在点（，f（）处的切线方程为（）ABCD解：f（x）2x+cos2x的导数为f（x）22sin2x
9、，可得图象在点（，f（）处的切线的斜率为22sin1，切点为（，），则切线的方程为y（）x，即为xy+0故选：A6已知函数f（x）2sin（2x+）+b（0）有相邻的两个零点和，则b（）A1BCD1解：f（x）有相邻的两个零点和，是f（x）图像的一条对称轴，又0，f（x）过点，b，故选：C7（x2+2x3）5的展开式中x的系数为（）A810B405C190D675解：因为（x2+2x3）5展开式中含x项是由5个多项式x2+2x3的乘积，在按多项式乘法运算时仅一个多项式取出2x，其它4个多项式都取出3，所以展开式中x的系数为C2（3）4810，故选：A8下面是某手机APP的图标，其设计灵感来源于
10、传统照相机快门的机械结构该图形是一个正六边形和六个全等的“曲边三角形”拼成的一个圆，且ABBC若在圆内随机取一点，则该点取自正六边形内部的概率为（）ABCD解：如图所示设O为圆心，则O也是正六边形中心，设正六边形的边长为1，则OA1，AC2，COA60，OC2OA2+AC22OAACcosOAC12+2223，可得OC，即圆的半径为，所以圆的面积为3，正六边形的面积为612，所以所求概率为：，故选：B9已知（）且tan（2），则的值为（）AB1C1D解：（）且tan（2），tan2tan2（舍去），或 tan，则tan1，故选：B10若圆x2+y26上的两个动点A，B满足|2，点M在圆x2+y
11、216上运动，则|的最小值是（）A2B3C4D5解：根据题意，设AB的中点为P，圆x2+y26的圆心O，其坐标为（0，0），若圆x2+y26上的两个动点A，B满足|2，则|OP|2，即P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆，该圆的方程为x2+y24，2，则|2|，而M在圆x2+y216上运动，则|为圆x2+y216和x2+y24上两点间的距离，则其最小值为422，故|的最小值是4，故选：C11设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x0时，f（x）log4（3x）若对任意的x0，b+1，均有f（x+b）f（2x），则实数b的最大值是（）ABC0D1解：当x0时，f（x）log4（3x）单调递减，且f（
12、x）为偶函数，根据偶函数对称性可知，当x0时，f（x）单调递增，对任意的x0，b+1，均有f（x+b）f（2x），故|x+b|2x|，即|x+b|2x，由区间的定义可知，b1，若x+b0，则x+b2x，即xb，由于x的最大值b+1，故bx显然不恒成立，若x+b0，则x+b2x，即x，所以b+1，解得b，故b的最大值故选：B12在ABC中，AB3，AC2BC，则ABC的面积的取值范围是（）A（0，2B1，3C（0，3D（0，6解：建立如图所示的直角坐标系，则A（，0），B（，0），C（x，y），因为AC2BC，所以，化简得，（x）2+y24，去掉（），（），即C的轨迹是以（）为圆心，以2为半径的
13、圆，三角形面积的最大值为S3所以0S3故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13若alog43，则3a+9a6解：由alog43，可得alog34log32，所以3a+9a3+32+46故答案为：614已知平面区域D是以点A（1，3），B（2，0），C（2，1）为顶点的三角形区域（含边界），若在区域D内存在无穷多个点（x，y）能使目标函数zx+my取得最小值，则m解：如图，由题意可知，m0不满足题意，故m0，由zx+my，得y，若，则m1，仅当直线yx+z过点C时z取得最小值，不符合条件；若，则m4，仅当直线y经过A时z取得最小值，不符合条件；若，则m，当直线y4x4z与AC
14、重合时z取最小值，符合条件故答案为：15过双曲线C：1（a0，b0）的右焦点F作x轴的垂线，与双曲线C及其一条渐近线在第一象限分别交于A，B两点，且2（O为坐标原点），则该双曲线的离心率是解：设双曲线C：1（a0，b0）的半焦距为c，由题意可得l：xc，F（c，0），渐近线方程为yx，则A（c，），B（c，），又2，（c，0）（2c，）（c，）（c，），即2b2bc0，则c2b，c24b24（c2a2），可得2a，则双曲线的离心率为e故答案为：16正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，AC1平面，BD平面，则正方体在平面内的正投影面积为6解：如图，作面，满足AC1平面，BD平面，则正方体A
15、BCDA1B1C1D1在面的正投影为一个六边形，所以根据对称性，正方体的6个顶点中A、B、B1、C1、D1、D，在平面内的投影点与六边形EHNFMG对应，其它六个顶点投影恰是六边形的六个顶点，六边形的对角线EF是AC1在射影EF3，BD与B1D1在平面上的射影为：3，E到GH的距离为，所以正六边形的面积为2+6故答案为：6三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17已知数列an的前n项和为Snn2n（）求an的通项公式；（）求数列ansin（n）前2021项之和解：
16、（）Snn2n，可得n1时，a1S1；n2时，anSnSn1n2n+（n1）2（n1）1，上式对n1也成立所以an1，nN*；（）ansin（n）（1）sin（n），则a1sin+a2sin+a3sin+a4sin2a1a3，a5sin+a6sin3+a7sin+a8sin4a5a7，.根据正弦函数的周期性可得，a1sin+a2sin+.+a2021sin505+118如图，四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面均为菱形、CC1平面ABCD，BAD60，A1ADA1AB45，AB2A1B12（）证明：平面A1AB平面A1AD；（）求直线CA1与平面A1AB所成角的正弦值【解答】（）证明：作
17、BEA1A于E，连接DE、BD，因为四边形ABCD是菱形，且BAD60，AB2，所以BD2，因为ABAD，AEAE，A1ADA1AB45，所以ABEADE，所以BEDEABsin40，于是BE2+DE2BD2，所以BEDE，因为BED为平面A1AB与平面A1AD所成二面角的平面角，所以平面A1AB平面A1AD；（）解：连接AC，交BD于O，连接AO，A1C1，因为在四棱台ABCDA1B1C1D1中，AB2A1B12，所以OCACA1C1，又因为OCA1C1，所以四边形A1C1CO为平行四边形，所以A1OCC1，因为CC1平面ABCD，所以A1O平面ABCD，于是A1OOA，A1OOB，因为上、
18、下底面均为菱形，所以OAOB，所以OA、OB、OA1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱台高为h，由已知得（，1，0），（，0，h），|cos45，所以32，解得h，（，0，），设平面A1AB的法向量为（x，y，z），令x1，（1，），所以直线CA1与平面A1AB所成角的正弦值为19某工厂的某种产品成箱包装每箱100件，每箱产品在交付用户之前至多要作两轮检验，先从这箱产品中随机抽取10件作初检，根据初检结果决定是否再抽取10件进行复检如检验出不合格品，则更换为合格品，每件产品的检验费用为50元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付200元赔偿费用（）假设某箱产品中仅有2
19、件不合格品，求这2件不合格品在初检时都被抽到的概率（）若初检时检验出x（xN且0x10）件不合格品，则认为该箱剩余的每件产品为不合格品的概幸均为，且各件产品是否为不合格品相互独立以一箱产品的检验费用和赔偿费用之和的期望值为决策依据，分析x为何值时，不需要进行复检解：（）从100件产品中抽取10件，2件不合格品被抽到的概率为：P（）若不进行复检，令Y表示剩余的90件产品中的不合格品数，则YB（90，），则一箱产品的检验费用和赔偿费用之和X15010+200Y500+200Y，E（X1）E（500+200Y）500+200E（Y）500+1800x；若进行复检，令Z表示剩余80减产品中的不合格品数
20、，则ZB（80，），则一箱产品的检验费用和赔偿费用之和X25020+200Z1000+200Z，E（X2）E（1000+200Z）1000+200E（Z）1000+1600x，当E（X1）E（X2）时，不需要进行复检，由500+1800x1000+1600x，得x2.5，即当x0，1，2时，不需要进行复检20已知椭圆：1（ab0）的右焦点为F（c，0）（c0），离心率为，经过F且垂直于x轴的直线交于第一象限的点M，O为坐标原点，且|OM|（）求椭圆的方程；（）设不经过原点O且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，A，B关于原点O对称的点分别是C，D，试判断四边形ABCD的面积有没有最大值若有，请求出
21、最大值；若没有，请说明理由解：（）由题意知，即a2c2，由a2b2+c2，可得b2，联立，解得，则点M（c，），则|OM|，联立，解得c，a2，b1，所以椭圆的方程为+y21（）设直线AB的方程为yx+m，联立，得2x2+4mx+4（m21）0，所以（4m）2424（m21）16（2m2）0，解得m，则x1+x22m，x1x22（m21），则|AB|x1x2|，原点O到直线AB的距离为d2d|m|，显然四边形ABCD是平行四边形，所以S四边形ABCD|AB|d|m|2224，当且仅当4m284m2，即m1时，取等号，所以四边形ABCD的面积存在最大值，且最大值为421已知函数f（x）2ex2+
22、ax（）讨论函数f（x）的单调性；（）对任意x0，求证：f（x）x（lnx+a）解：（）f（x）的定义域是R，f（x）2ex2+a，当a0时，f（x）0恒成立，故f（x）在R上单调递增，当a0时，令f（x）0，解得：x2+ln（），令f（x）0，解得：x2+ln（），故f（x）在（，2+ln（）上单调递减，在（2+ln（），+）上单调递增；综上：当a0时，f（x）在R上单调递增，当a0时，f（x）在（，2+ln（）上单调递减，在（2+ln（），+）上单调递增；（）证明：要证f（x）x（lnx+a），即证2ex2+axx（lnx+a），即证2ex2xlnx，又x0，故lnx，即证lnx0，令g（
23、x）lnx，则g（x），令r（x）2（x1）exe2x，则r（x）2xexe2，而r（x）在（0，+）递增，且r（1）2ee20，r（2）3e20，故存在唯一的实数x0（1，2），使得r（x0）0，故r（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，r（0）20，r（2）0，故大昂r（x）0时，x2，当r（x）0时，0x2，故g（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，故g（x）g（2）1ln20，综上：lnx0，即f（x）x（lnx+a）（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，选修4-4：坐标系与参数方程22在极坐标
24、系中，已知曲线C：（）若0a1，曲线C与极轴所在直线交于A，B两点，且|AB|4，求a的值；（）若a1，直线l1，l2经过极点且相互垂直，l1与C交于P，Q两点，l2与C交于M，N两点，求|PQ|+|MN|的最小值解：（）设极点为O，令0，得|OA|，令，得|OB|，则|AB|OA|+|OB|，解得a（a舍去）；（）设直线l1：（R），则l2：+（R），则|PQ|，用替换，得|MN|，当时，|PQ|+|MN|取最小值16选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x1|+|x+1|（）解关于x的不等式f（x）8；（）若不等式f（x）k|x|恒成立，求实数k的取值范围解：（）由f（x）8，即|2x1|+|x+1|8等价为或或，解得x1或1x或x，可得原不等式的解集为（，）；（）当x0时，不等式显然成立；当x0时，不等式f（x）k|x|可化为k，而|2|+|+1|21|3，当且仅当（2）（+1）0，即12时，取得等号故的最小值为3所以k的取值范围是（，3
