1、第二章函数、导数及其应用第九节函数模型及应用最新考纲考情分析1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是高考命题的热点2常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力3选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答题为主.课时作业01知识梳理 诊断自测02考点探究 明晰规律01 知识梳理 诊断自测 课前热身 稳固
2、根基 知识点一 指数、对数、幂函数模型性质比较知识点二 几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b 为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)与指数函数相关模型f(x)baxc(a，b，c 为常数，a0 且a1，b0)与对数函数相关模型f(x)blogaxc(a，b，c 为常数，a0且 a1，b0)与幂函数相关模型f(x)axnb(a，b，n 为常数，a0)(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢(2)充分理解题意，并熟练掌握几种
3、常见函数的图象和性质是解题的关键(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利()(2)函数 y2x 的函数值比 yx2 的函数值大()(3)不存在 x0，使 ax0 xn01)的增长速度会超过并远远大于 yxa(a0)的增长速度()解析：(1)9 折出售的售价为 100(110%)91099 元每件赔 1 元，(1)错(2)中，当 x2 时，2xx24.不正确(3)中，如 ax012，
4、n14，不等式成立，因此(3)错2小题热身(1)函数模型y10.25x，y2log2x1，y31.002x，随着x的增大，增长速度的大小关系是.y3y1y2解析：根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得(2)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元把平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S表示为x的函数是.S800 x x8解析：由题意知，每件产品的生产准备费用是800 x 元，仓储费用是x81 元，所以每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S800 x x8.(3)某物体一天中的温度T是关于时间t的函
5、数，且Tt33t60，时间单位是小时，温度单位是，当t0时表示中午12：00，其后t值为正，则上午8时该物体的温度是.8解析：由题意知，上午8时即t4，因此所求温度T(4)33(4)608()(4)已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到只200解析：由题意知100alog3(21)，a100，y100log3(x1)，当x8时，y100log39200.(5)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)关于燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v2 000ln1Mm.当燃料质量是
6、火箭质量的倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒e61解析：由题意可得12 0002 000ln1Mm，则ln1Mm 6，解得1Mme6，所以Mme61，故填e61.02 考点探究 明晰规律 课堂升华 强技提能 考点一 一次函数、二次函数模型的应用【例 1】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y12x2200 x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元(
7、1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不能获利，那么国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【解】(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为yx12x80 000 x200212x80 000 x200200，当且仅当12x80 000 x，即 x400 时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200 元(2)设 该 单 位 每 月 获 利 为 S，则 S 100 x y 100 x 12x2200 x80 000 12x2300 x80 00012(x300)235 000.因为 400 x600，
8、所以当 x400 时，S 有最大值40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元，才能使该单位不亏损方法技巧在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题1某商场销售 A 型商品，已知该商品的进价是每件 3 元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400 360 320 280 240 200 160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为()
9、A4 B5.5 C8.5 D10C解析：由题意可设定价为 x 元/件，利润为 y 元，则 y(x3)40040(x4)40(x217x42)，故当 x8.5 时，y 有最大值，故选 C.2某种商品进价为 4 元/件，当日均零售价为 6 元/件，日均销售100 件，当单价每增加 1 元，日均销量减少 10 件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为 20 元，则预计单价为多少时，利润最大()A8 元/件B10 元/件C12 元/件D14 元/件B解析：设单价为 6x，日均销售量为 10010 x，则日利润 y(6x4)(10010 x)2010 x280 x18010(x4)2340(0 x
10、10)当 x4 时，ymax340.即单价为 10 元/件时，利润最大，故选 B.考点二 分段函数模型的应用【例 2】已知美国苹果公司生产某款 iPhone 手机的年固定成本为40 万美元，每生产 1 万部还需另投入 16 万美元，设苹果公司一年内共生产该款 iPhone 手机 x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为 R(x)万美元，且R(x)4006x，040.(1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，苹果公司在该款 iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润【解】(1)当 040 时，WxR(x)(16x40)40 00
11、0 x16x7 360.所以，W6x2384x40，040.(2)当 040 时，W40 000 x16x7 360，由于40 000 x16x240 000 x16x1 600，当且仅当40 000 x16x，即 x50(40，)时，取等号，所以 W 取最大值为 5 760.综合知，当 x32 时，W 取最大值为 6 104 万美元方法技巧1分段函数的特征主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，分段函数模型的最值问题，应先求出每一段上的最值，然后比较大小.2构造分段函数时，要力求准确，简洁，做到分段合理，保证不重不漏.为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新
12、上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y13x380 x25 040 x，x120，144，12x2200 x80 000，x144，500，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿(1)当 x200,300时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解：(1)当 x200,300时，设该项目获利为 S 元，则 S200 x1
13、2x2200 x80 00012x2400 x80 00012(x400)2，所以当 x200,300时，S0)(1)如果 m2，求经过多长时间，物体的温度为 5 摄氏度；(2)若物体的温度总不低于 2 摄氏度，求 m 的取值范围【解】(1)若 m2，则 22t21t22t12t，当 5 时，2t12t52，令 2tx(x1)，则 x1x52，即 2x25x20，解得 x2 或 x12(舍去)，此时 t1.所以经过 1 分钟，物体的温度为 5 摄氏度(2)物体的温度总不低于 2 摄氏度，即 2 恒成立，即 m2t22t2 恒成立亦即 m212t 122t 恒成立令12ty，则 0y1，m2(y
14、y2)恒成立，由于 yy214，m12.因此，当物体的温度总不低于 2 摄氏度时，m 的取值范围是12，.方法技巧1指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决；2应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型；3ya1xn 通常利用指数运算与对数函数的性质求解.1某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金的投入若该公司2016 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份
15、是(参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30)()A2017 年B2018 年C2019 年D2020 年D解析：设经过 x 年后全年投入的研发资金开始超过 200 万元，由题意可得 130(10.12)x200，则 xlog1.122013，即 xlg20lg13lg1.121lg21lg1.3lg1.120.300.110.054，2 01642 020，故选 D.2我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同的要求音量大小的单位是分贝(dB)，对一个强度为I的声波，其音量的大小可由如下公式计算：10lg II0(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的()A.76倍B倍C10倍Dln76倍C解析：由10lg II0 得II01010，所以I1I0107，I2I0106，所以I1I210，所以70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的10倍，故选C.温示提馨请 做：课时作业 12PPT文稿（点击进入）