1、2等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式Q 奥运会是举世瞩目、振奋人心的体育盛会第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算学了本节知识后，你将知道举行奥运会的年份1896,1900,1904，构成一个等差数列，你运用等差数列的知识，能判断2022年的东京奥运会是第几届吗？你能写出举行前30届奥运会的所有年份吗？2050应该举行奥运会吗？X 1等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 差 是 同一个常数 ，我们称这样的数列为等差数列2等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作 a与b的等差中项
2、 .3等差数列的判断方法(1)要证明数列an是等差数列，只要证明：当n2时， anan1d(常数) .(2)如果an1对任意的正整数n都成立，那么数列an是 等差数列 .(3)若a，A，b成等差数列，则A.4等差数列的通项公式等差数列的通项公式为 ana1(n1)d ，它的推广通项公式为 anam(nm)d .5等差数列的单调性当d0时，an是 递增 数列；当d0时，an是 常 数列；当d1)不是一个常数，而是一个与n有关的变数跟踪练习1已知数列an的通项公式为anpn2qn(p，qR且p，q为常数)(1)当p和q满足什么条件时，数列an是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q，数列an1a
3、n是等差数列解析(1)欲使an是等差数列，则an1anp(n1)2q(n1)(pn2qn)2pnpq，q应是一个与n无关的常数，所以只有2p0，即p0时，数列an是等差数列(2)证明：因为an1an2pnpq，所以an2an12p(n1)pq.而(an2an1)(an1an)2p为一个常数，所以an1an是等差数列命题方向2等差数列的通项公式例题2(1)(2019哈尔滨高二检测)2 000是等差数列4,6,8，的(B)A第998项B第999项C第1 001项D第1 000项(2)(2019南京高二检测)已知等差数列1，3，7，11，求它的通项公式及第20项分析(1)4,6,8公差通项公式解方程
4、得n.(2)首项1与第二项3公差通项公式第20项解析(1)数列4,6,8，的通项公式为an2n2.则2n22 000.解得n999.(2)由题意可知a11，a23，所以公差da2a14.所以ana1(n1)d14(n1)54n.所以a20542075.即该数列的通项公式为an54n，第20项为75.规律总结等差数列通项公式的四个主要应用(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所需求的项(4
5、)若数列an的通项公式是关于n的一次函数或常数函数，则可判断数列an是等差数列跟踪练习2已知数列an为等差数列，且a511，a85，求a11.解析解法一：设数列an的首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式及已知，得解得.a1119(111)(2)1.解法二：a8a5(85)d，d2.a11a8(118)d53(2)1.命题方向3等差中项的应用例题3已知，成等差数列，试证：a2，b2，c2也成等差数列分析要证明三个数成等差数列，一般只要证明中间项是另两项的等差中项即可证明，成等差数列，(2bac)(ca)2(bc)(ab)，a2c22b2，a2，b2，c2也成等差数列规律总结关于等差数列的判
6、断问题，一般来说可通过等差数列的定义来判断，但若数列的通项未知，有时通过等差中项加以判断也是一个不错的选项就本题而言，证明a2c22b2应是较好的处理方法跟踪练习3(1)若等差数列an的前三项依次为a,2a1,4a2，则它的第五项是多少？(2)若四个数a，x，b,2x成等差数列，则等于多少？解析(1)由题意知2a1是a与4a2的等差中项，即2a1，解得a0，故数列an的前三项依次为0,1,2，故a10，d1，a50414.(2)由于前三项与后三项均可利用等差中项的定义，所以解得ba，即.Y 例题4已知数列an中，a11，a22,2an12an3(n2，nN)，判断an是否是等差数列误解2an12an3，an1an，故数列an是等差数列辨析审题错误，没有注意条件n2.当n2时，an1an，这说明这个数列从第二项起，后一项与它的前一项的差为同一个常数，而a2a11.漏审条件而误认为是等差数列正解当n2时，由2an12an3，得an1an.但a2a11，故数列an不是等差数列规律总结a2a11，a3a2，不满足等差数列的定义，故数列an不是等差数列B 等差数列