1、3.1函数的概念与性质3.1.1函数及其表示方法第1课时函数的概念学 习 目 标核 心 素 养1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用(重点、难点)2了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域(重点)1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养2借助函数定义域的求解，培养数学运算素养3借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养某物体从高度为44.1 m的空中自由下落，物体下落的距离s(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为sgt2，其中g取9.8 m/s2.问题(1)时间t和物体
2、下落的距离s满足什么条件？(2)时间t(0t3)确定后，下落的距离s确定吗？(3)下落后的某一时刻能同时对应两个距离吗？1函数的概念定义给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作：yf(x)，xA，其中x称为自变量，y称为因变量三要素对应关系yf(x)，xA定义域自变量x的取值的范围 (即非空实数集A)值域所有函数值组成的集合yB|yf(x)，xA思考：(1)有人认为“yf(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示
3、(1)这种看法不对符号yf(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，f是对应关系，y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值yf(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，h(x)等来表示函数(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当xa时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)3x4，当x8时，f(8)38428是一个常数拓展给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如
4、果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是使函数的解析式有意义的自变量取值的集合2两个函数相同一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yf(x)x2，xA与uf(t)t2，tA表示的是同一个函数()(2)函数yf(x)x2，x0，2与g(x)2x，x0，2表示的是同一个函数()(3)函数yf(x)x2，x0，2与h(x)x2，x(0，2)表示同一个函数()答案(1)(2)(3)提示(1)两个函数定义域相同，对应关系也相同(2)两函数的对应关系不同(3)两函
5、数的定义域不同2函数y的定义域是()A1，)B1，0)C(1，) D(1，0)C由x10得x1.所以函数的定义域为(1，).3(教材P93练习A改编)若f(x)，则f(3)_f(3).4下表表示y是x的函数，则函数的值域是_xx22x3x3y1011，0，1函数值只有1，0，1三个数值，故值域为1，0，1函数的概念【例1】(1)下列四组函数，表示同一函数的是()Af(x)，g(x)xBf(x)x，g(x)Cf(x)，g(x)xDf(x)x2，g(x)()4(2)判断下列对应f是否为定义在集合A上的函数AR，BR，对应法则f：y；A1，2，3，BR，f(1)f(2)3，f(3)4；A1，2，3，
6、B4，5，6，对应法则如图所示(1)C选项A中，由于f(x)|x|，g(x)x，两函数对应法则不同，所以它们不是同一函数；选项B中，由于f(x)x的定义域为R，g(x)的定义域为x|x0，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数；选项C中，f(x)x，g(x)x的定义域和对应法则完全相同，所以它们是同一函数；选项D中，f(x)x2的定义域为R，g(x)()4x2的定义域为0，)，两个函数的定义域不相同，所以它们不是同一函数(2)解AR，BR，对于集合A中的元素x0，在对应法则f：y的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数由f(1)f(2)3，f(3)4，知集合A中的
7、每一个元素在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应是定义在A上的函数集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数,1判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集；(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系2.判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同，若对应关系也相同，则是同一个函数1在下列从集合A到集合B的对应
8、关系中，能确定y是x的函数的是()Ax|xZ，By|yZ，f为“除以3”；Ax|x0，xR，By|yR，f为“求3x的平方根”；AR，BR，f为“求平方”；Ax|1x1，xR，B0，f为“乘以0”ABC DD在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数；在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数；符合函数的定义求函数的定义域探究问题1已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示不可以如f(x).倘若先化简，则f(x)，从而定义域与原函数不等价2若函数yf(x1)的定义域是1，2，这里的“1，2”
9、是指谁的取值范围？函数yf(x)的定义域是什么？提示1，2是自变量x的取值范围函数yf(x)的定义域是x1的范围2，3.【例2】(教材P87例1改编)求下列函数的定义域(1)f(x)2；(2)f(x)(x1)0；(3)f(x)；(4)f(x).思路点拨要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可解(1)当且仅当x20，即x2时，函数f(x)2有意义，所以这个函数的定义域为x|x2(2)当且仅当函数有意义，解得x1且x1，所以这个函数的定义域为x|x1且x1(3)当且仅当函数有意义，解得1x3，所以这个函数的定义域为x|1x3(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得
10、x1且x1，即函数定义域为x|x1且x1(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数yf(x1)的定义域解由1x13得0x2.所以函数yf(x1)的定义域为0，2.求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义求函数值(值域)【例3】(教材P88例3改编)设f(x)2x22，g(x).(1)求f(2)，f(a3)，g(
11、a)g(0)(a2)，g(f(2)；(2)求函数y2x1，x1，2，3，4的值域思路点拨(1)直接把自变量x的取值代入相应函数解析式求值即可；(2)所有函数值的集合即为值域解(1)因为f(x)2x22，所以f(2)222210，f(a3)2(a3)222a212a20.因为g(x)，所以g(a)g(0)(a2).g(f(2)g(10).(2)当x1时，y3；当x2时，y5；当x3时，y7；当x4时，y9.所以函数y2x1，x1，2，3，4的值域为3，5，7，9,1函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值(2)求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则2.
12、求函数值域的常用方法(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域如：一次函数f(x)kxb(k0)的值域是R；反比例函数f(x)(k0)的值域是y|y0；二次函数f(x)ax2bxc(a0)，当a0时，值域是；当a0时，值域是(2)配方法：判别式法是求解二次函数型值域的常用方法(3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数转化为简单的函数，从而求得函数的值域2已知f(x)x32x3，求f(1)和f(f(1)的值解f(1)132136；f(f(1)f(1)32(1)3)f(0)3.3求函数y1x2的值域解因为1x21，所以函数y1x2的值域为
13、(，1.知识：1判断两个函数相同函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同2对函数定义的再理解(1)函数的定义域必须是非空实数集，因此定义域为空集的函数不存在如y就不是函数；集合A中的元素是实数，即A且AR.(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应这三性只要有一个不满足，便不能构成函数(3)函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，而是非空数集B的子集例如，对于从集合AR到集合
14、BR的函数yx2，值域是y|y0，而不是R.方法：1判断一个对应关系是否为函数的方法(1)判断集合A，B是否为非空数集(2)判断集合A中任一元素在集合B中是否有唯一的元素与之对应满足上述两条，则该对应关系是函数2判断一个图形是不是函数图像的常用方法(1)看图形对应的x轴上的任意一个x是否都有唯一的y与之对应，若是，则该图形是函数的图像；若至少有一个x值，存在两个或两个以上的y与之对应，则此图形一定不是函数的图像(2)要关注函数的定义域、值域与图形中所示的定义域(图形正对着x轴上的所有实数)、值域(图形正对着y轴上的所有实数)是否一致1函数f(x)的定义域是()A3，)B3，4)(4，)C(3，) D3，4)B要使有意义，只需解得x3，4)(4，).故选B.2将函数y的定义域为_(，0)(0，1由解得x1且x0，因此函数的定义域为(，0)(0，1.3已知函数f(x)的定义域为M，g(x)的定义域为N，则MN_x|2x2由题意得Mx|x2，Nx|x2，所以MNx|2x24已知函数f(x)x.(1)求f(x)的定义域；(2)求f(1)，f(2)的值；(3)当a1时，求f(a1)的值解(1)要使函数f(x)有意义，必须使x0，f(x)的定义域是(，0)(0，).(2)f(1)12，f(2)2.(3)当a1时，a10，f(a1)a1.
