1、第1课时 解三角形应用举例距离问题一、教材分析本课是人教B版数学必修5第一章解三角形中1.2的应用举例中测量距离(高度）问题。主要介绍正弦定理、余弦定理在实际测量（距离、高度）中的应用。因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。对加深学生数学源于生活，用于生活的意识做贡献。二、学情分析距离测量问题是基本的测量问题，在初中，学生已经学习了应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量。这里涉及的测量问题则是不可到达的测量问题，在教学中要让学生认识问题的差异，进
2、而寻求解决问题的方法。在某些问题中只要求得到能够实施的测量方法。学生学习本课之前，已经有了一定的知识储备和解题经验，所以本节课只要带领学生勤思考多练习，学生理解起来困难不大。三、教学目标（一）知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量（距离、高度）有关的实际问题。（二）过程与方法通过应用举例的学习，经历探究、解决问题的过程，让学生学会用正、余弦定理灵活解题，从而获得解三角形应用问题的一般思路。（三）情感、态度与价值观提高数学学习兴趣，感知数学源于生活，应用于生活。四、教学重难点重点：分析测量问题的实际情景，从而找到测量和计算的方法。难点：测量方法的寻找与计算。五、教学手段
3、计算机，PPT，黑板板书。 六、教学过程（设计）教 学环 节教学内容教师活动学生活动设计意 图（一）课前回顾（预计时间2分钟） 同学们，我们首先来回顾一下本章所学的几个重要知识点。1）三角形常用公式：正弦定理：2） 正弦定理应用范围：1. 已知两角和任意边，求其他两边和一角。2. 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)。（3） 余弦定理：（其余两个规律相同）（4）余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：1.已知三边求三个角；2.已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。教师需要用精炼的语言引导同学回忆知识学生主动回忆旧知知识回顾，为这节课的应用作准备（二）新知储备、设疑引
4、知（预计时5分钟）实际问题中的常用角1.方位角：从指北方向顺时针转到目标方向的水平角如图(1)所示2方向角：相对于某一正方向(东、西、南、北)的水平角北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向，如图(2)北偏西，即是由指北方向逆时针旋转到达目标方向其它方向角类似情景展示，引入问题情景一：比萨斜塔 （展示图片）师：比萨斜塔是意大利的著名建筑，它每年都会按照一定度数倾斜，但斜而不倒，同学们想一想，如果我们不能直接测量这个塔的高度，该怎么知道它的高度呢？情景二：河流、梵净山（展示图片）师：如果我们不能直接测量，该怎么得出河流的宽度和梵净山的高度呢？引入课题：我们今天就是来思考怎么通过计算，得到无法测
5、量的距离（高度）问题。知识扩展：简单介绍测量工具（展示图片）1 经纬仪:测量度数2卷尺：测量距离帮助学生了解本节课的新知识。引导学生思考如何解决距离问题。积极配合，快速记忆和掌握常用角。为下面的应用问题打下基础。活跃课堂气氛，提高学生学习兴趣。（三）新课讲解（计时为20分钟）新课讲解新课讲解本环节一共给学生讲解三个例题，由此得到距离问题的两个类型，让学生在用解三角形计算距离与高度这一类问题上有所认识。一、 介绍解题思路解三角形应用题的基本思路:实际问题数学问题数学问题的解实际问题的解二、 测量距离问题的两种类型例1 (2010陕西高考)在ABC中，已知B45，D是BC边上的一点，AD10，AC
6、14，DC6，求AB的长分析由余弦定理得cosADC，ADC120，ADB60，在ABD中，由正弦定理得，ABAD5.类型1如右图，你所在点A，不可到达点B，欲测得AB长度，可再取可到达点C，构造ABC，我们可测出BAC与BCA及AC.于是，由正弦定理可求AB的长例2、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。分析如图，因为，又已知=1.5m,所以只要求出即可。解:答：烟囱的高为 29.9m.例3 隔河可以看见对岸两目标A、B，但不能到达，在岸边选择相距 km的C、D两点，并测
7、得DCB45，BDC75，ADC30，ACD120(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离分析分别在BCD和ACD中利用正弦定理求出BD和AD，然后在ADB中利用余弦定理求出AB.在BCD中，因为DCB45，BDC75，所以DBC60，又CD，由正弦定理得BD，在ACD中同理可求得AD3，在ABD中，由余弦定理得，AB(km)答：A、B两点间的距离为 km.类型二： 如右图欲测BC的长，选取你可到点A，由于AB、AC均不可直接测得，由(1)可知，只要再取点D，即可获得AB、AC的长，BAC可测，从而得到BC，也可先求得BD、CD，再在BCD中用余弦定理求得BC.变式训练如下图，
8、为了测量河宽，在岸的一边选定两点A、B，望对岸的标记物C，测得CAB45，CBA75，AB120米，则河宽为_米分析在ABC中，CAB45，ABC75，ACB60，由正弦定理可得AC20(3)，设C到AB的距离为CD，则CDACsinCAB20(3)sin4520(3)，河的宽度为20(3)米 通过例题由浅入深地给学生讲述利用正、余弦定理计算距离的问题，中间有些问题需要师生之间的互动。 认真思考求解的一般步骤和方法，找出其中的规律。得到两种类型。考虑例三有没有别的求解方法？ 交给学生解答一般解三角形实际问题中测量距离的求解方法。让同学们了解到解三角形在实际中的应用是很广泛的。（四）知能达标训练
9、(记时10分钟)基础落实1.已知A、B两地相距10 km，B、C两地相距20 km，且ABC120，则A、C两地相距()A10 kmB10 kmC10 km D10 km解析AC2AB2BC22ABBCcos120700，AC10 km.答案D2如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据中，较适宜的是()Ac与a Bc与bCc与 Db与解析在a，b，c，五个量中，a，c，不易测量，故选D.3海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛与B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，那么B岛与C岛之间的距离为_n mile.解析画出示意图，易得C45，由正弦定理，BC
10、5.能力提升一、选择题1如图，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据()A、a、b B、aCa、b、 D、b解析要测AB.由余弦定理可知，需测出b、a、.2某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为()A500米 B600米C700米 D800米解析如图，由题意知，ACB120，AB2300250022300500490000，AB700米二、填空题3某人从A处出发，沿北偏东60行走3公里到B处，再沿正东方向行走2公里到C处，则AC两地距离为_公里解析由题意可知，AB
11、3，BC2，ABC150. 由余弦定理得AC2274232cos15049，AC7.则A、C两地距离为7公里4.甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是_解析h甲20tan6020(m)，h乙20tan6020tan30(m)启发学生独立思考的能力。结合所学最好能独立解答。集体回答和个人回答相结合。夯实基础，提升能力。（四）小结（计时2分钟）小结：1.解三角形应用题的基本思路:实际问题数学问题数学问题的解实际问题的解2.测量距离问题的两种类型关键：多观察及正弦定理、余弦定理的灵活运用3.拿到一个题目，我们要三步走：第一步要认真
12、读题，找出题目中的已知条件和所求问题。第二步，把所求的边放到一个三角形中，并观察该三角形的已知条件能否求解。第三步，如果条件不足，把所需条件再放到一个已知条件多的三角形中求解。最终得到所求边长。 希望同学们学习了今天的内容，能够灵活掌握正弦定理、余弦定理解题的基本分析方法和步骤。并且在遇到现实中一些问题时，能的用我们学到的数学知识加以求解，达到学以致用的效果。带领学生一起总结或引导学生自行总结。时间充裕的话，由学生自行总结。帮助学生梳理知识，到达系统理解知识的目的。（五）课后作业同学们课后自己完成12页课后题1和2.强调规范答题要求学生独立完成巩固新知，达到熟练运用的目的。七、板书设计 1.2
13、 正弦定理余弦定理的应用举例一、回顾公式 二、新科讲解 例一 公式 例二 正弦定理 已知两角和一边 应用 公式 已知两边和其中一边的对角余弦定理 已知三边 应用 已知两边和它们的夹角八、 教学反思 1.本教案为解三角形应用举例，是对解三角形的较高的应用，难度相应的也有提高；例题选择典型，涵盖了解三角形的常考题型，突出了重点方法，并且通过同类型的练习进行巩固；课后通过基本题、模拟题和高考题对学生的知识掌握进行考查，使本节内容充分落实 教师要积极引导学生对这些应用问题进行探索，鼓励学生进行独立思考，并在此基础上大胆提出新问题2.对于学生不知道如何处理的应用问题，教师通过转化，使学生能够理解，需要在练习中加强