1、第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第三节 平面向量的数量积与平面向量的应用举例课时作业02考点探究 明晰规律03微突破 提升素养第2课时 平面向量数量积的应用02 考点探究 明晰规律 课堂升华 强技提能 考点一 平面向量在平面几何中的应用【例 1】(2020武汉调研)在ABC 中，ABAC 0，|AB|4，|BC|5，D 为线段 BC 的中点，E 为线段 BC 垂直平分线 l 上任一异于 D的点，则AECB()A.72B.74C74D7A【解析】解法 1：AECB(BEBA)CB BECB BACB(DE DB)CB BACB DE CB DB CB BA CB 52514545252 1
2、672.故选 A.解法 2：依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(4,0)，因为|BC|5，所以C(0,3)，D2，32，易知直线 BC 的斜率为34，因为直线 DE 是线段 BC 的垂直平分线，所以直线 DE 的斜率为43，所以直线 DE 的方程为 y3243(x2)，令 x0 得 y76，所以直线 DE 与 y 轴的交点坐标为0，76，不妨令 E0，76，因为CB(4，3)，所以AECB 0，76(4，3)72，故选 A.方法技巧向量与平面几何综合问题的解法1坐标法,把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示.2基向量法,适当选取一组基底，沟通向量之
3、间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解已知 O，N，P 在ABC 所在平面内，且|OA|OB|OC|，NA NBNC 0，且PAPBPBPC PC PA，则点 O，N，P 依次是ABC 的()A重心 外心 垂心B重心 外心 内心C外心 重心 垂心D外心 重心 内心C解析：由|OA|OB|OC|知，O 为ABC 的外心；由NA NBNC 0 知，N 为ABC 的重心；因为PAPBPBPC，所以(PAPC)PB 0，所以CA PB 0，所以CA PB，即 CAPB，同理APBC，CPAB，所以 P 为ABC 的垂心考点二 平面向量与三角函数的综合【例 2】在ABC 中，角 A，B，
4、C 的对边分别为 a，b，c，且满足(2ac)BABC cCB CA.(1)求角 B 的大小；(2)若|BABC|6，求ABC 面积的最大值【解】(1)由题意得(2ac)cosBbcosC.根据正弦定理得(2sinAsinC)cosBsinBcosC，所以 2sinAcosBsin(CB)，即 2sinAcosBsinA，因为 A(0，)，所以 sinA0，所以 cosB 22，又 B(0，)，所以 B4.(2)因为|BABC|6，所以|CA|6，即 b 6，根据余弦定理及基本不等 式得 6a2c22ac2ac2ac(22)ac(当且仅当 ac 时取等号)，即 ac3(2 2)故ABC 的面积
5、 S12acsinB3 212，因此ABC 的面积的最大值为3 232.方法技巧向量与三角函数综合应用1解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决.2还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识.已知 a，b，c 为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，向量 m(3，1)，n(cosA，sinA)若 mn，且 acosBbcosAcsinC，则角 A，B 的大小分别为()A.6，3B.23，6C.3，6D.3，3C解析：由 mn 得 mn0，即 3cosAsi
6、nA0，即 2cosA60，因为6A676，所以 A62，即 A3.又 acosBbcosA2RsinAcosB2RsinBcosA2Rsin(AB)2RsinCc(R 为ABC 外接圆半径)，且 acosBbcosAcsinC，ccsinC，所以 sinC1，又 C(0，)，所以 C2，所以 B326.考点三 平面向量在解析几何中的应用【例 3】若点 O 和点 F 分别为椭圆x24y23 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为_6【解析】由题意，得 F(1,0)，设 P(x0，y0)，则有x204 y2031，解得 y2031x204，因为FP(x01，y0)
7、，OP(x0，y0)，所以OP FPx0(x01)y20 x20 x031x204 x204 x0314(x02)22，因为2x02，故当 x02 时，OP FP取得最大值6.方法技巧向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2020福建模拟)在边长为 1 的正方形 ABCD 中，动点 P 在以点 C为圆心且与 BD 相切的圆上若APABAD，则 的最大值是()A3 B2 2C2 3D4A解析：由题意，以 A 为坐标原点，以 AB，AD 所在的直线分别为 x
8、 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(1,0)，D(0,1)，C(1,1)BC1，CD1，BD 2.动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，圆 C 的半径为 22，圆 C 的方程为(x1)2(y1)212.设点 P 的坐标为1 22 cos，1 22 sin，APABAD，1 22 cos，1 22 sin(1,0)(0,1)(，)，1 22 cos，1 22 sin，1 22 cos1 22 sin2 22(cossin)2sin4，当 sin4 1 时，取得最大值，最大值为 3，故选 A.考点四 平面向量中的最值、范围问题【例 4】(1)(2020武汉调研)设
9、A，B，C 是半径为 1 的圆 O 上的三点，且OA OB，则(OC OA)(OC OB)的最大值是()A1 2B1 2C.21 D1(2)已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量 a 与 e 的夹角为3，向量 b 满足 b24eb30，则|ab|的最小值是()A.31 B.31C2 D2 3A A【解析】(1)如图，作出OD，使得OA OB OD，(OC OA)(OC OB)OC 2OA OC OB OC OA OB 1(OA OB)OC 1OD OC，由图可知，当点 C 在 OD 的反向延长线与圆 O 的交点处时，OD OC 取得最小值，最小值为 2，此时(OCOA)(OC
10、 OB)取得最大值，最大值为 1 2，故选 A.(2)b24eb30，(b2e)21，|b2e|1.如图所示，把 a，b，e 的起点作为公共点 O，以 O 为原点，向量 e 所在直线为 x 轴，则 b 的终点在以点(2,0)为圆心，半径为1 的圆上，|ab|就是线段 AB 的长度要求|AB|的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心 M 到直线 OA的距离减去圆的半径长，因此|ab|的最小值为 31.方法技巧1平面向量中有关最值、范围问题的两种解题思路形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断.数化：利用平面向量的坐标
11、运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.2求向量模的最值范围的方法代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解.几何法数形结合法：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.1如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BAD60，M 为 DC 的中点，若 N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM AN 的最大值为()A3 B2 3C6 D9D解析：由平面向量数量积的几何意义知，AM AN 等于AM 与AN在 AM 方 向 上 的 投 影 之 积，所 以(AM AN)max AM AC 12ABAD(AB
12、AD)12AB 2AD 232ABAD 9.2已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则PA(PBPC)的最小值是()A2 B32C43D1B解析：如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴，以 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0，3)，B(1,0)，C(1,0)，设 P(x，y)，则PA(x，3y)，PB(1x，y)，PC(1x，y)，所以PA(PBPC)(x，3y)(2x，2y)2x22y 32232，当 x0，y 32 时，PA(PBPC)取得最小值，为32.03 微突破 提升素养 突破重点 开阔视野 平面向量与三角形
13、的“四心”1数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神2数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题设 O 为ABC 所在平面上一点，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则(1)O 为ABC 的外心|OA|OB|OC|a2sinA.(2)O 为ABC 的重心OA OB OC 0.(3)O 为AB
14、C 的垂心OA OB OB OC OC OA.(4)O 为ABC 的内心aOA bOB cOC 0.类型 1 平面向量与三角形的“重心”【典例 1】已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点 P 满足OP 13(1)OA(1)OB(12)OC，R，则点 P 的轨迹一定经过()AABC 的内心BABC 的垂心CABC 的重心DAB 边的中点C【解析】取 AB 的中点 D，则 2OD OA OB，OP 13(1)OA(1)OB(12)OC，OP 132(1)OD(12)OC 213OD 123OC，而2131231，P，C，D 三点共线，点 P 的轨迹一定经过ABC 的重心类型
15、2 平面向量与三角形的“内心”问题【典例 2】在ABC 中，AB5，AC6，cosA15，O 是ABC的内心，若OP xOB yOC，其中 x，y0,1，则动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为()A.10 63B.14 63C4 3D6 2B【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点 P 的轨迹是以 OB，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为BOC 的面积的 2 倍在ABC 中，设内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，由余弦定理 a2b2c22bccosA，得 a7.设ABC 的内切圆的半径为 r，则12bcsinA12(abc)r，解得 r2 63，所以 SBOC12ar12
16、72 63 7 63.故动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为 2SBOC14 63.类型 3 平面向量与三角形的“垂心”问题【典例 3】已知 O 是平面上的一个定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP OA AB|AB|cosBAC|AC|cosC，(0，)，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A重心B垂心C外心D内心B【解析】因为OP OA AB|AB|cosBAC|AC|cosC，所以APOP OA AB|AB|cosBAC|AC|cosC，所以BC APBC AB|AB|cosBAC|AC|cosC(|BC|BC|)0，所以BC AP，所以点 P 在 BC 的高线上
17、，即动点 P 的轨迹一定通过ABC 的垂心类型 4 平面向量与三角形的“外心”问题【典例 4】已知在ABC 中，AB1，BC 6，AC2，点 O 为ABC 的外心，若AO xAByAC，则有序实数对(x，y)为()A.45，35B.35，45C.45，35D.35，45A【解析】取 AB 的中点 M 和 AC 的中点 N，连接 OM，ON，则OM AB，ON AC，OM AM AO 12AB(xAByAC)12x AByAC，ON AN AO 12AC(xAByAC)12y AC xAB.由OM AB，得12x AB 2yAC AB0，由ON AC，得12y AC 2xAC AB0，又因为BC
18、 2(AC AB)2AC 22AC ABAB 2，所以AC ABAC 2AB 2BC 2212，把代入、得12xy0，4x8y0，解得 x45，y35.故实数对(x，y)为45，35.1(2020南宁模拟)已知 O 是ABC 内一点，OA OB OC 0，ABAC 2 且BAC60，则OBC 的面积为()A.33B.3C.32D.23A解析：OA OB OC 0，O 是ABC 的重心，于是SOBC13SABC.ABAC 2，|AB|AC|cosBAC2，BAC60，|AB|AC|4.又 SABC12|AB|AC|sinBAC 3，OBC 的面积为 33，故选 A.2(2020衡阳模拟)在ABC 中，A120，ABAC 3，点 G是ABC 的重心，则|AG|的最小值是()A.23B.63C.23D.53B解析：设 BC 的中点为 D，因为点 G 是ABC 的重心，所以AG 23AD 2312(ABAC)13(ABAC)，再令|AB|c，|AC|b，则AB AC bccos1203，所以 bc6，所以|AG|219(|AB|22ABAC|AC|2)19(c2b26)19(2bc6)23.所以|AG|63，当且仅当 bc 6时取等号，故选 B.温示提馨请 做：课时作业 31PPT文稿（点击进入）