1、2.2.4均值不等式及其应用素养目标定方向课程标准学法解读1了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义2会运用均值不等式解决最值、范围、不等式证明等相关问题3掌握运用均值不等式(a，b0)求最值的常用方法及需注意的问题.1注意从数与形的角度来审视均值不等式，体会数形结合思想的应用2通过“积定”与“和定”来把握均值不等式并研究最值，加深对“一正、二定、三相等”的理解3注重均值不等式的变形，体会其特征，强化记忆.第1课时均值不等式必备知识探新知基础知识1均值不等式(基本不等式)(1)算术平均值与几何平均值.前提给定两个正数a，b结论数称为a，b的_算术平均值_数称
2、为a，b的几何平均值(2)均值不等式.前提_a，b_都是正数结论等号成立的条件当且仅当ab时，等号成立几何意义所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大思考1：均值不等式与不等式a2b22ab的关系如何？请对此进行讨论提示：(1)在a2b22ab中，a，bR；在ab2中，a，b0.(2)两者都带有等号，等号成立的等件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)(3)证明的方法都是作差比较法(4)都可以用来求最值2均值不等式与最值两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值思考2：应用上述两个结论时，要注意哪些事项？提示：应用上述性质时注意三点：(1)各项或各因式均为
3、正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值即“一正二定三相等”基础自测1下列不等式中正确的是(D)Aa4Ba2b24abCDx22解析：a0，则a4不成立，故A错；a1，b1，a2b24ab，故B错；a4，b16，则2y，当且仅当x2y1时取等号Cx2y，当且仅当x2y1时取等号Dx0，即x2y，且等号成立时(x2y)21，即x2y1，故选B3如果a0，那么a2的最小值是_4_.解析：因为a0，所以a222224，当且仅当a，即a1(1舍)时取等号4已知0x1，则x(1x)的最大值为_，此时x_.解析：因为0x0，所以x(1x)2()2，当且仅当x1x，即x时“”成立，即当x时，
4、x(1x)取得最大值.5若x2y24，则xy的最大值是_2_.解析：xy2，当且仅当xy时取“”关键能力攻重难类型对均值不等式的理解典例剖析_典例1(1)若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是(D)Aa2b22abBab2CD2(2)不等式a12(a0)中等号成立的条件是(C)Aa0BaCa1Da2思路探究：(1)使用均值不等式的前提条件是a0，b0；(2)均值不等式中，等号成立的条件是ab.解析：(1)对于A项，当ab时，应有a2b22ab，所以A项错；对于B，C，条件ab0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D项，因为ab0，所以，0，所以22.(2)因为a
5、0，根据均值不等式，当且仅当ab时等号成立，故a12中等号成立当且仅当a1.归纳提升：在均值不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”一正，a，b均为正数；二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即ab有解对点训练_1若a，bR，则下列不等式恒成立的是(C)AB2C()2D(ab)()4解析：令a2，b2，则A错误，B也错误，D也错误对于C，a2b22ab，2a22b2a2b22ab，2(a2b2)(ab)2，()2(当且仅当ab时，等号成立)，故C正确类型利用均值不等式求最值典例剖析_1和为定值求积的最值典例2已知0x0，配凑x的系数，易知3x(13x)为定值1，则可以利用均
6、值不等式求解解析：0x0.x(13x)3x(13x)2，当且仅当x时，x(13x)取得最大值.归纳提升：求两数积的最值时，一般需要已知这两数的和为定值，当条件不满足时，往往利用题目中的已知条件将两数进行适当的拆项和添项，通过变形使转化后的两数和为定值，再利用均值不等式求最值，变形后仍要求满足“一正、二定、三相等”2积为定值求和的最值典例3(1)已知x，求代数式4x2的最小值；(2)已知x，得4x50，且(4x5)为定值1，故把4x2改写成4x53即可(2)由于x，得4x5，4x50，4x24x53235，当且仅当4x5，即x时取等号当x时，4x2取得最小值5.(2)x，4x50，4x24x53
7、(54x)323231，当且仅当54x，即x1时取等号故当x1时，4x2取得最大值1.归纳提升：在利用均值不等式求两数和的最值时，若“一正、二定、三相等”中的条件不满足时，则需要对条件作出调整和转化，使其满足上述条件，方可利用均值不等式转化的方法有添项、拆项、凑项、变号等3变换技巧“1”的代换典例4已知x0，y0，且1，求xy的最小值思路探究：要求xy的最小值，根据均值不等式，应构建某个积为定值这需要对条件进行必要的变形，可进行“1”的代换，也可以“消元”等解析：方法一：(“1”的代换)：1，xy(xy)()10.x0，y0，26，则xy16，当且仅当，即y3x时，取等号又1，x4，y12，当
8、x4，y12时，xy取得最小值16.方法二：(消元法)：由1，得x.x0，y0，y90.xyyy(y9)10.y90，y926，则xy16，当且仅当y9，即y12时取等号，此时x4.当x4，y12时，xy取得最小值16.归纳提升：常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题应用此种方法求解最值的基本步骤为：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式(4)利用均值不等式求最值对点训练_2(1)已知x0，y0且x4y1，则的最小值为(B)A8B9C10D11(2)当x1时，的最
9、小值为_8_；(3)已知0x0，y0且x4y1，所以()(x4y)14259，当且仅当x，y时取等号(2)令t(x1)2，因为x10，所以t228，当且仅当x1，即x4时，t的最小值为8.(3)因为0x0，所以x(12x)2x(12x)()2，所以当且仅当2x12x(0xb0，则下列不等式中一定成立的是(C)Aab0B01Cab解析：因为ab0，由均值不等式知1)取得最小值b，则ab(C)A3B2C3D8解析：yx4x15，由x1，得x10，0，所以由均值不等式得yx15251，当且仅当x1，即(x1)29，所以x13，即x2时取等号，所以a2，b1，ab3.3已知x0，y0，且满足1，则xy的最大值为_3_，取得最大值时y的值为_2_.解析：因为x0，y0且12，所以xy3.当且仅当，即x，y2时取等号4已知x0，y0，且xy100，则xy的最小值为_20_.解析：xy220，当且仅当xy10时取“”5求tx的取值范围. 解析：当x0时，x22，当且仅当x即x1时，“”成立，所以x2.当x0时，x(x)22，当且仅当x，即x1时“”成立所以x2故tx的取值范围为t|t2或t2
