1、第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第三节 平面向量的数量积与平面向量的应用举例最新考纲考情分析1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.1.本节是高考中的重点考查内容，涉及数量积的运算，投影，模(长度)与夹角等多方面内容2命题形式多种多样，以选择题，填空题为主，属中低档题，常与三角，平面几何，解析几何等相结合考查.课时作业01知识梳理 诊断自测02考点探究 明晰规律03微突破 提升素养01 知识梳理 诊断自测 课前热身 稳固根基 知
2、识点一 平面向量数量积的定义及几何意义1向量的夹角已知两个非零向量 a 和 b，作OA a，OB b，则就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是AOB0，2平面向量的数量积定义设两个非零向量 a，b 的夹角为，则数量叫做a 与 b 的数量积，记作 ab投影叫做向量 a 在 b 方向上的投影，叫做向量 b 在 a 方向上的投影几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影的乘积|a|b|cos|a|cos|b|cos|b|cos知识点二 向量数量积的运算律1abba.2(a)b(ab)3(ab)c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c 不一定等于a(b
3、c)，这是由于(ab)c 表示一个与 c 共线的向量，a(bc)表示一个与 a共线的向量，而 c 与 a 不一定共线a(b)acbc知识点三 平面向量数量积的性质 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)结论几何表示坐标表示模|a|a|aax21y21结论几何表示坐标表示夹角coscosx1x2y1y2x21y21 x22y22ab 的充要条件|ab|与|a|b|的关系|ab|x1x2y1y2|x21y21x22y22ab|a|b|ab0 x1x2y1y20|a|b|1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两个向量的夹角的范围是0，2.()(2)一个向量 在另 一个 向量方 向上
4、 的投影 为 数量，而不 是向量()(3)ab0，则 a 与 b 的夹角为锐角；ab0，则 a 与 b 的夹角为锐角或零角；ab0)，则 B(4,0)，C(2，t)，E3，12t，所以AB(AC AE)(4,0)2，t3，12t(4,0)5，32t 20，故选 D.命题方向 2 向量数量积的几何意义【例 2】(2020长沙市统考)在ABC 中，AB10，BC6，CA8，且 O 是ABC 的外心，则CAAO()A16 B32C16 D32D【解析】解法 1：由题意得 AB2BC2CA2，所以ABC为直角三角形，则点 O 为斜边 AB 的中点，所以CA AO AC AO|AC|AO|cosBAC|
5、AC|12|AB|AC|AB|12|AC|232，故选D.解法 2：由题意得 AB2BC2CA2，所以ABC 为直角三角形，则点 O 为斜边 AB 的中点，所以AO 在AC 上的投影为 4，则CA AO ACAO 4|AC|32，故选 D.方法技巧平面向量数量积的计算方法1已知向量 a，b 的模及夹角，利用公式 ab|a|b|cos 求解.2已知向量 a，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解.3对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算.1(方向 1)(2019全国卷)已知AB(2,3)，AC(3，t)，|BC|1，则ABBC()A3 B2C2 D3C解析：
6、因为BC AC AB(1，t3)，所以|BC|1t321，解得 t3，所以BC(1,0)，所以ABBC 21302，故选 C.2(方向 1)(2020安徽五校质检)在ABC 中，AB3，AC2，BAC120，点 D 为 BC 边上一点，且BD 2DC，则ABAD()A.13B.23C1 D2C解析：解法 1：BD 2DC，AD AB2(ACAD)，AD23AC 13AB，则AB AD AB 23AC 13AB 23AB AC 13AB 2233212 13321，故选 C.解法 2：以 A 为坐标原点，AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示则 A(0,0)，B(3,0)，C(1
7、，3)，BD 2DC，BD 23BC 23(4，3)83，2 33，则D13，2 33，AB(3,0)，AD 13，2 33，则ABAD 31301，故选 C.3(方向 2)(2020成都第二次诊断)已知向量 a(3，1)，b(3，3)，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为()A 3B.3C1 D1A解析：设向量 a 与 b 的夹角为，向量 b 在向量 a 方向上的投影为|b|cosab|a|3 3 32 3.考点二 平面向量数量积的性质应用命题方向 1 平面向量的模 【例 3】(1)(2020洛阳市统考)已知向量 a(1，3)，|b|3，且a 与 b 的夹角为3，则|2ab|()A5 B.
8、37C7 D37(2)已知在直角梯形 ABCD 中，ABAD2CD2，ABCD，ADC90，若点 M 在线段 AC 上，则|MB MD|的取值范围为_B2 55，2 2【解析】(1)a(1，3)，|a|2，|b|3，a 与 b 的夹角为3，ab3，|2ab|24a24abb21612937，|2ab|37，故选 B.(2)建立如图所示的平面直角坐标系则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，设AM AC(01)，则 M(，2)，故MD(，22)，MB(2，2)，则MB MD(22，24)，|MB MD|2222422035245，当 0 时，|MB MD|取得最大值 2 2，当
9、 35时，|MB MD|取得最小值2 55，|MB MD|2 55，2 2.命题方向 2 平面向量夹角问题【例 4】(1)(2019全国卷)已知非零向量 a，b 满足|a|2|b|，且(ab)b，则 a 与 b 的夹角为()A.6B.3C.23D.56(2)(2020豫北名校联考)已知 a，b 是两个非零向量，且|a|b|ab|，则 a 与 ab 的夹角为_B6【解析】(1)设 a 与 b 的夹角为.因为(ab)b，所以(ab)babb20，所以 abb2，所以 cos ab|a|b|b|22|b|212.又 a 与 b 的夹角的取值范围为0，所以 a 与 b 的夹角为3，故选 B.(2)设
10、a 与 ab 的夹角为，由|a|b|得|a|2|b|2，又由|b|ab|得|b|2|ab|2，则 ab12|a|2，|ab|2|a|22ab|b|23|a|2，|ab|3|a|.cosaba|ab|a|a2ab|ab|a|32|a|23|a|2 32.又知 0，6.命题方向 3 垂直问题【例 5】(1)(2020安徽蚌埠模拟)已知非零向量 m，n 满足 3|m|2|n|，它们的夹角 60.若 n(tmn)，则实数 t 的值为()A3 B3C2 D2(2)平面四边形 ABCD 中，ABCD 0，(ABAD)AC 0，则四边形 ABCD 是()A矩形B正方形C菱形D梯形BC【解析】(1)由题意得
11、cos12.n(tmn)，n(tmn)tmnn2t|m|n|12|n|2t3|n|2|n|20，解得 t3.故选 B.(2)因为AB CD 0，所以AB CD DC，所以四边形ABCD 是平行四边形又(ABAD)AC DB AC 0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形 ABCD 是菱形方法技巧1(方向 1)(2020昆明检测)已知非零向量 a，b 满足 ab0，|a|3，且 a 与 ab 的夹角为4，则|b|()A6 B3 2C2 2D3D解析：ab0，|a|3，a(ab)a2ab|a|ab|cos4，|ab|3 2，将|ab|3 2两边平方可得，a22abb218，解得|b|3，故选 D.
12、2(方向 1)已知向量 a，b 为单位向量，且 ab12，向量 c 与 ab 共线，则|ac|的最小值为()A1 B.12C.34D.32D解析：向量 c 与 ab 共线，可设 ct(ab)(tR)，ac(t1)atb，(ac)2(t1)2a22t(t1)abt2b2，向量 a，b 为单位向量，且 ab12，(ac)2(t1)2t(t1)t2t2t134，|ac|32，|ac|的最小值为 32，故选 D.3(方向 2)(2019全国卷)已知 a，b 为单位向量，且 ab0，若c2a 5b，则 cosa，c.23解析：设 a(1,0)，b(0,1)，则 c(2，5)，则 cosa，c21 452
13、3.4(方向 3)已知向量AB与AC 的夹角为 120，且|AB|3，|AC|2.若APABAC，且APBC，则实数 的值为.712解析：由APBC，知APBC 0，即APBC(ABAC)(ACAB)(1)AB AC AB 2AC 2(1)3212 940，解得 712.03 微突破 提升素养 突破重点 开阔视野 “两法”搞定向量模的最值问题【典例】已知向量 a，b 满足|a|4，b(ab)0.若|ab|的最小值为 2(R)，则 ab 的值为()A0 B4C8 D16C【解析】解法 1：利用|a|2a2，求|ab|的最小值|ab|2(ab)2a222(ab)b2.因为|a|4，所以 a216.
14、因为 b(ab)0，所以 b2ab.于是|ab|21622(ab)ab16 116ab 2ab 116(ab)2，所以|ab|2 的最小值为 ab 116(ab)24，解得 ab8.解法 2：利用|ab|的几何意义如图，设OA a，OB b，则BAab.因为 b(ab)0，所以 OBBA.设OP a，则点 P 是直线 OA 上的动点，过点 B 作BCOP，垂足为 C，则|ab|BP|BC|，即|ab|的最小值为|BC|2.又|OA|a|4，所以 BC 是 RtOAB 的斜边 OA 上的中线，故|b|OB|2 2.从而 abb28.【素养解读】(1)本例的实质是定直线外的定点到定直线上的动点的距
15、离的最值问题(2)解决与向量的模有关的问题，常见的策略有：利用|a|2a2；利用向量的模的几何意义已知点 A，B，C 在圆 x2y21 上运动，且 ABBC.若点 P 的坐标为(2,0)，则|PAPBPC|的最大值为()A6 B7C8 D9B解析：解法 1：由圆周角定理及 ABBC，知 AC为圆的直径故PAPC 2PO(4,0)(O 为坐标原点)设 B(cos，sin)，PB(cos2，sin)，PAPBPC(cos6，sin)，|PA PB PC|cos62sin2 3712cos 37127，当且仅当 cos1 时取等号，此时 B(1,0)，故|PAPBPC|的最大值为 7.故选 B.解法 2：由圆周角定理及 ABBC，知 AC 为圆的直径故PAPC 2PO(O 为坐标原点)，又PBPO OB，|PAPBPC|3PO OB|3|PO|OB|3217，当且仅当PO 与OB 同向时取等号，此时 B 点坐标为(1,0)，故|PAPBPC|max7.故选 B.温示提馨请 做：课时作业 30PPT文稿（点击进入）
