1、 第4课时 二次函数与简单的幂函数 1幂函数的定义 形如(R)的函数称为幂函数，其中为自变量，为常数【思考探究】1.幂函数与指数函数有何不同？提示：本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置yxx 2五种幂函数的性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1定义域值域奇偶性单调性定点0，)0，)0，)奇偶奇非奇非偶奇x0，)时，增x(，0时，减x(0，)时，减x(，0)时，减(1,1)增增增RRRRRx|xR且x0y|yR且y0 3.二次函数的解析式(1)一般式：f(x)；(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为：f(x)；(3)双根式
2、：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为 f(x)ax2bxc(a0)a(xh)2k(a0)a(xx1)(xx2)(a0)4二次函数的图象和性质b0b0答案：B答案：B答案：C 4拋物线y8x2(m1)xm7的顶点在x轴上，则m_.5若函数f(x)x2(a2)xb(xa，b)的图象关于直线x1对称，则f(x)max_.答案：9或25 答案：30 幂函数yx的性质和图象，由于的取值不同而比较复杂，一般可从三方面考查：(1)的正负：0时图象经过(0,0)点和(1,1)点，在第一象限的部分“上升”；0时图象不过(0,0)点，经过(1,1)点，在第一象限的部分“下降”；(2)曲线在第一象限
3、的凹凸性：1时曲线下凹，01时曲线上凸，0时曲线下凹；(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性【特别警示】无论取何值，幂函数的图象必经过第一象限，且一定不经过第四象限 已知幂函数f(x)xm22m3(mN)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，求m的值 解析：函数在(0，)上递减，m22m30，解得1m3.mN，m1,2.又函数的图象关于y轴对称，m22m3是偶数，而222233为奇数，122134为偶数，m1.答案：B 求二次函数解析式的方法：待定系数法根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或两点式中的一种来求 利用已知条件求
4、二次函数解析式常用的方法是待定系数法，但可根据具体的条件选用适当形式的解析式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式；(2)已知拋物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式；(3)若已知拋物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用两点式求f(x)更方便【变式训练】2.已知函数f(x)x2mxn的图象过点(1,3)，且f(1x)f(1x)对任意实数都成立，函数yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称 求f(x)与g(x)的解析式 设函数yf(x)图象上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，则x0 x，y0y.点Q(x0，y0)在yf(x)的图象上，yx22x
5、，yx22x，g(x)x22x.二次函数求最值问题，首先采用配方法化为ya(xm)2n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程xm，结合二次函数的图象求解，常见有三种类型：(1)顶点固定，区间也固定；(2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数 讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值 函数f(x)x22x2在闭区间t，t1(tR)上的最小值记为g(t)试写出g(t)的函数表达式 解析：f(x)x22x2(x1)21，当t11，即t0时，函数在t，t1上为减函数，g(
6、t)f(t1)t21；当0t1时，g(t)f(1)1；当t1时，函数在t，t1上为增函数，g(t)f(t)t22t2.【变式训练】3.已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，求a的值 解析：函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1对称轴方程为xa.(1)当a0时，f(x)maxf(0)1a，1a2，a1.(2)当0a1时，f(x)maxa2a1，a2a12，a2a10，(3)当a1时，f(x)maxf(1)a，a2.综上可知，a1或a2.1解决与二次函数有关的问题关键是通过配方得出顶点坐标，由此可知函数的图象、对称轴、单调区间、最值和判别式等 2关于二次函数f(x)a(xh)
7、2k(a0)在闭区间m，n上的最值问题，有如下结论：(1)若 hm，n，则 ymin f(h)，ymaxmaxf(m)，f(n)(2)若hm，n，则yminminf(m)，f(n)，ymaxmaxf(m)，f(n)3幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点 4幂函数yx(R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如yx1，y
8、x22x等都不是幂函数(本小题满分12分)(2009江苏卷)a为实数，函数f(x)2x2(xa)|xa|.(1)若f(0)1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值【规范解答】(1)因为f(0)a|a|1.所以a0，即a0.由a21知a1，因此，a的取值范围为(，1.4分【阅后报告】本题有一定难度，解答本题的关键是去掉绝对值，转化为关于x的一元二次函数，其难点是分类讨论；分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，是常见的数学思想方法之一当所研究的问题含有参数时，往往要对参数进行讨论分类时要全面，本着“不重复，不遗漏”的原则进行，最后要有概括性的总结，叙述时力争做到条理简洁，语言精练 1(2010四川卷)函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是()Am2Bm2 Cm1 Dm1答案：A 答案：A答案：D练规范、练技能、练速度
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