1、4二次函数性质的再研究41二次函数的图像知识点二次函数的图像 填一填1二次函数函数yax2bxc(a0)叫作二次函数它的定义域是R.如果bc0，则函数变为yax2.我们知道，它的图像是一条顶点为原点的抛物线a0时，抛物线开口向上，a0)(或向右(h0)(或向下(k0)(或向右(a0)(或向下(k0)或向右(h0)或向下(k0时，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，当c0，开口向上；a0时，是二次函数的最小值；当a0)个单位长度，得到二次函数f(x)x23x2的图像，则a的值为(B)A1 B2C3 D4解析：函数f(x)x2x通过配方可得f(x)2，将它的图像向右平移a(a0)个单位长度后，对应的
2、函数解析式为f(xa)2.函数f(x)x23x2通过配方可得f(x)2，由题意得a，解得a2.故选B.类型三二次函数的形状和位置 【例3】将二次函数yx2bxc的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，便得到函数yx22x1的图像，求b与c.【思路探究】要求b与c，需先求函数yx2bxc的解析式，要求解析式，应先求抛物线的顶点坐标，根据两条抛物线的平移情况可以确定其顶点坐标【解】函数yx22x1可变形为y(x1)2，抛物线yx22x1的顶点坐标为(1,0)根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线yx2bxc的图像，即把抛物线yx22x1的图像向下平移3个单位，再向右平移2个单位就可得到抛物线y
3、x2bxc的图像，此时顶点B(1,0)平移至点A(3，3)处抛物线yx2bxc的顶点是(3，3)即y(x3)23x26x6，对照yx2bxc，得b6，c6.规律方法 抛物线ya(xh)2k在平移时，a不变，只是h或k发生变化，故抛物线的平移问题，关键在于准确求出顶点的坐标，掌握顶点位置的变化情况阅读下面文字后解答问题有这样一道题目：“已知二次函数yax2bxc(a0)的图像经过点A(0，a)，B(1，2)，c1(答案不唯一)，求证：这个二次函数图像的对称轴是直线x2”题目中的横线部分是一段被墨水污染而无法辨认的文字，请你根据已有的信息，在原题中的横线上，添加一个适当的条件，把原题补充完整解析：
4、根据条件得解得二次函数的解析式为yx24x1.根据求出的二次函数解析式再任意写出一个要求补充的条件即可例如c1或b4；经过点(1,6)或(4,1)或(2，3)等等即可类型四二次函数图像的应用 【例4】如图是一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m.(1)在如图的坐标系中，求抛物线的解析式；(2)若洪水到来时，水位以0.2m/h的速度上升，从警戒线开始，再持续多长时间才能到拱桥顶【思路探究】(1)从图形可知抛物线为yax2的形式，且点D、B在抛物线上，AB20m，BE10m，DFCD5m，EF3m.点B在点D下方，设点D的坐标为(5，y
5、)，则点B的坐标为(10，y3)，把D、B两点坐标代入抛物线yax2中，可求出抛物线的解析式(2)从(1)中可求出点D的纵坐标，即从警戒线到拱桥顶的距离可知又知水位以0.2m/h的速度上升，就可求出再持续多长时间才能到拱桥顶【解】(1)CD10，DFCD5.AB20，BEAB10.设抛物线方程为yax2，点D的坐标为(5，y)点B的坐标为(10，y3)又点D、B在抛物线yax2上，解得抛物线的解析式为yx2.(2)由(1)可得点D的坐标为(5，1)，从警戒线到拱桥顶的距离为1m，5(h)若洪水到来时，水位以0.2m/h的速度上升，再持续5h，才能到拱桥顶规律方法 把实际问题转化为数学问题，即转
6、化为点的坐标及函数的解析式，应该注意点所在的象限，也就是点的坐标的符号如图是二次函数yax2bxc图像的一部分，图像过点A(3,0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5a0，即b24ac，正确；对称轴为x1，即1,2ab0，错误；结合图像，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为x1知，b2a.又函数图像开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ag(x)的解集为f(x)的图像位于g(x)的图像上方的那部分点的横坐标的取值范围2两种常见图像的交换技巧(1)y|f(x)|的图像是保留yf(x)的图像中位于x轴上半平面内的部分及与x轴的交点，将yf(x)的图像中位于
7、下半平面内的部分以x轴为对称轴翻折到上半平面中去而得到(2)yf(|x|)的图像是保留yf(x)的图像中位于右半平面内的部分及与y轴的交点，去掉左半平面内的部分而利用偶函数的性质，将右半平面内的部分以y轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到若【例5】条件不变，要使方程x|x2|a有三个不同的实数解，求实数a的取值范围解：要使方程x|x2|a有三个不同的实数解，即函数yG(x)x|x2|与ya有三个不同的交点，G(x)x|x2|利用描点法作出图像，如图所示在图像上作出ya.可知0a0，二次函数a0，而二次函数中c0故排除B.选D.2将二次函数y3x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图
8、像的解析式为(C)Ay3(x2)21 By3(x2)21Cy3(x2)21 Dy3(x2)21解析：将二次函数y3x2向右平移2个单位长度得到y3(x2)2的图像，再向上平移1个单位长度可得y(x2)21的图像，故选C.3抛物线yax2bxc与x轴的交点为(1,0)、(3,0)，其形状与抛物线y2x2相同，则yax2bxc的解析式为(D)Ay2x2x3 By2x24x5Cy2x24x8 Dy2x24x6解析：抛物线yax2bxc与x轴的交点为(1,0)、(3,0)，其形状与抛物线y2x2相同，a2，y2x2bxc，将点(1,0)、(3,0)代入y2x2bxc，得，解得b4，c6，y2x24x6
9、.二、填空题4抛物线yax24xc的顶点是(1,2)，则a2，c0.解析：由题意，得，解得.5二次函数yx23x的图像是由函数yx2的图像先向左(左、右)平移3个单位，再向下(上、下)平移2个单位得到解析：yx23x(x3)22，将yx2向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到yx23x的图像三、解答题6画出函数y2x24x6的草图解：y2x24x62(x22x)62(x22x11)62(x1)2162(x1)28.函数图像的开口向上，顶点坐标为(1，8)，对称轴为直线x1.令y0得2x24x60，即x22x30，x1或x3，令x0得y286，故函数图像与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)，与y轴的交点坐标为(0，6)画法步骤：(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，8)、(1,0)、(3,0)、(0，6)，画出直线x1；(2)连线：用光滑的曲线连点(1，8)、(1,0)、(3,0)、(0，6)，在连线的过程中，要保持关于直线x1对称，即得函数y2x24x6的草图，如图所示