1、本作品版权由孙小明老师所有,授权予北京校园之星科技有限公司，任何机构或个人均不得擅自复制、传播。本公司热忱欢迎广大一线教师加入我们的作者队伍。有意者请登录高考资源网()版权所有，盗用必究！ 第 11页（共11页）共11页第11页84双曲线的简单几何性质 （2） 一、教学目标知识目标：1使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质2掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念3并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题能力目标：通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养 德育目标：培养学生乐学、
2、爱学的学习态度二、教材分析本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质 它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点 用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分 坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法 运动变化和对立统一的思想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学 利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心
3、率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题 讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来以为渐近线的双曲线方程则是 对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度 同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生
4、认知心理的变化规律 1重点：双曲线的渐近线、离心率2难点：渐近线几何意义的证明三、活动设计提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结四、教学过程(一)设置情境 1提问：双曲线有哪些几何性质？（学生回答、教师板书或投影）2说出椭圆的第二定义（学生回答、教师板书）平面上点 与定点 的距离和它到直线 的距离的比是常数 的点的轨迹是椭圆若将上述定义中 改为 即 呢？（二）探索研究1、双曲线的第二定义题目：点 与定点 的距离和它到直线 的距离的比是常 ，求点 的轨迹解：设 是点 到直线 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合： 由此得： 化简得： 设 ，就可化为： 这是双曲线的标准方程，所以点 的轨迹是实
5、轴长、虚轴长分别为 、 的双曲线由此可知，当点 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 时，这个点的轨迹是双曲线通常称为双曲线的第二定义定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 是双曲线的离心率对于双曲线 ，相应于焦点 的准线方程是 ，根据双曲线的对称性，相应于焦点 的准线方程是 ，所以双曲线有两条准线因此，双曲线离心率的几何意义是双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比2.双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线，是其左右焦点则由第二定义：， 同理 即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式
6、：同理有焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式： （ 其中分别是双曲线的下上焦点）点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加右减，上减下加（带绝对值号）3、归纳双曲线的几何性质:下面可归纳双曲线的几何性质（教师事先准备一块小黑板，设计如下表格，请两名学生填写，其他学生纠错）标准方程图形范围， ， 对称性对称轴： 轴、 轴，对称中心：原点离心离 顶点焦点准线渐近线（三）例题分析例1求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程解：把方程化为标准方程由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3焦点的坐标是(0
7、，5)，(0，5)离心率渐近线方程为，即 例2 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55m选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m) 分析：本题建立合适的坐标系是关键。注意到通风塔有三个特殊的截口圆：上口、下口、最小的一个截口。显然，最小截口圆的圆心是双曲线的中心，直径是双曲线的实轴，所以以最小截口直径所在直线为X轴，圆心为原点建立坐标系，则双曲线的方程具有最简单的形式。解：如图所示，建立直角坐标系xOy，使小圆的直径AA在x轴上，圆心与原点重合这时，上、下口的直径CC、BB平行于x轴，且|
8、CC|=132(m)，|BB|=252(m)设双曲线的方程为令点C的坐标为(13，y)，则点B的坐标为(25，y55)因为点B、C在双曲线上，所以 且 解方程组，得 （负值舍去）代入方程，得化简得19b2275b181500 解方程(使用计算器计算)，得b25(m)所以所求双曲线方程为 点评： 这是一个有实际意义的题目解这类题目时，首先要解决以下两个问题：(1)选择适当的坐标系；(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来 例3 已知双曲线与椭圆 共焦点，它的一条渐近线方程为 ，求双曲线的方程由一位学生演板，教师归纳以下两种解法：解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为 ，则另一条为 可设
9、双曲线方程为即 由椭圆方程 可知双曲线与椭圆共焦点，则 故所求双曲线方程为 解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为由渐近线方程 可得 故所求双曲线方程为点评：1渐近线为 的双曲线方程可表示为 2椭圆 与双曲线 有相同的焦点坐标例4 双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，右准线方程是 且经过点 （1）双曲线的离心率 ；（2）双曲线的右焦点的轨迹方程分析：这是一道综合题，要灵活运用定义，可教师讲解解：（1）依题意，有： 即 即 解得 （2）设右焦点为 ，且点 在双曲线上，由双曲线的第二定义得：即 为所求的轨迹方程点评：1要求离心率就要建立关于 、 、 的方程，若要求离心率的范围，一般要建立
10、关于 、 、 的不等式2若题设条件与焦点，准线有关时，一般利用第二定义来解题要方便很多（四）反馈练习1双曲线 的两条准线的距离等于（ ）A B C D 2如果双曲线 上一点 到双曲线右焦点的距离是8，那么 到右准线的距离是（ ）A10B C D 3以曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率是（ ）A B C D 答案：1A 2D 3B（五）总结提炼1双曲线的第一定义与第二定义是等价的，可以互相推出，双曲线的离心率是焦距与实轴长的比，双曲线上的点到焦点的距离与这点到相应准线的距离的比也是离心率这也是双曲线的一个几何性质2求双曲线方程要根据具体条件具体对待，确定焦点的位置很重要的（六）布
11、置作业1准线方程为 ，离心率为 的双曲线的标准方程是（ ）A B C D 2双曲线的两条渐近线的夹角为60，则双曲线的离心率是（ ）A2或 B2C D 3设双曲线 的半焦距为 ，直线 过 ， 两点，已知原点到直线 的距离为 ，则双曲线的离心率为（ ）A2B C D 4与椭圆 有公共焦点，且离心离 的双曲线方程是_5求与定点 及定直线 的距离的比是5：4的点的轨迹方程6（1）求渐近线的方程是 ，经过点 的双曲线方程（2）求渐近线的方程是 ，实轴长为12的双曲线方程答案：1C； 2A； 3A； 4 ； 5 ；6（1） ，（2） 或 （七）板书设计8.4 双曲线简单几何性质（二）一、双曲线的第二定义二、例题分析例1例2例3练习小结
