1、第二章 推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理A级基础巩固一、选择题1下列推理是归纳推理的是()AF1，F2为定点，动点P满足|PF1|PF2|2a|F1F2|，得P的轨迹为椭圆B由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2y2r2的面积r2，猜想出椭圆1的面积SabD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理答案：B2已知 2， 3， 4，.若6(a，bR)，则()Aa5，b24Ba6，b24Ca6，b35 Da5，b35解析：观察式子的特点可知，分式的分子a与根号外的数相同，而分母b则为a的平方减1.答
2、案：C3在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式如：设a，b是非零实数，且满足tan ，则等于()A4 B.C2 D.解析：将已知式变形，则有tan tan，类比正切的和角公式，即tan()，可知只有当tan 时，上式成立答案：D4设n是自然数，则(n21)1(1)n的值()A一定是零 B不一定是偶数C一定是偶数 D是整数但不一定是偶数解析：当n为偶数时，(n21)1(1)n0为偶数；当n为奇数时(n2k1，kN)，(n21)1(1)n(4k24k)2k(k1)为偶数所以(n21)1(1)n的值一定为偶数答案：C5观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n(n2
3、，nN*)个圆点，第n个图案中圆点的总数是Sn.按此规律推断出Sn与n的关系式为()ASn2n BSn4nCSn2n DSn4n4解析：由n2，n3，n4的图案，推断第n个图案是这样构成的；各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n个圆点，则圆点的个数为Sn4n4.答案：D二、填空题6已知x(0，)，观察下列不等式：x2，x3，类比有xn1(nN*)，则a_解析：由类比推理可得x,sup6(,n个)(n1)n1，此时ann.答案：nn7在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为V1，外接球体积
4、为V2，则_解析：正三角形内切圆半径与外接圆半径之比为12，故面积之比为14，正四面体中，内切球半径与外接球半径之比为13，故体积之比为127.答案：8观察下列各式：(x3)3x2；(sin x)cos x；(exex)exex；(xcos x)cos xxsin x.根据其中函数f(x)及其导数f(x)的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是_解析：对于，f(x)x3为奇函数，f(x)3x2为偶函数；对于，g(x)sin x为奇函数，f(x)cos x为偶函数；对于，p(x)exex为奇函数，p(x)exex为偶函数；对于，q(x)xcos x为奇函数，q(x)cos xxsin x为偶函数
5、归纳推理得结论：奇函数的导函数是偶函数答案：奇函数的导函数是偶函数三、解答题9如图所示为m行m1列的士兵方阵(mN*，m2)(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2，3，4，5，时，方阵中士兵的人数(2)若把(1)中的数列记为an，归纳该数列的通项公式(3)求a10，并说明a10表示的实际意义(4)已知an9 900，问：an是数列第几项？解：(1)当m2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m3，4，5，时的士兵人数分别为12，20，30，故所求数列为6，12，20，30，(2)因为a123，a234，a345，所以猜想an(n1)(n2)，nN*.(3)a10111213
6、2.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n1)(n2)9 900，所以n98，则an是数列的第98项，此时方阵为99行100列10如图所示，在ABC中，射影定理可表示为abcos Cccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想解：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为SS1cos S2cos S3cos .B级能力提升1用火柴棒摆“金鱼”，如图所示
7、：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为()A6n2 B8n2C6n2 D8n2解析：从可以看出，从图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n2.答案：C2若Sn是等差数列an的前n项和，则有S2n1(2n1)an，类似地，若Tn是等比数列bn的前n项积，则有T2n1_. 解析：T2n1b1b2b3b2n1(b1b2n1)(b2b2n2)bnb.答案：b3观察下列等式：sin210cos240sin 10cos 40；sin26cos236sin6cos36.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想解：由知，两角相差30，运算结果为，猜想：sin2cos2(30)sin cos(30).证明：左边sin cos(30)1sin 1cos 2cos 2sin 2sin 2右边故sin2cos2(30)sin cos(30).