1、22 间接证明学习目标：1.理解反证法的概念 2.会用反证法证明数学问题 课前自主学案 1 _是一种执因推果的证明方法 _是一种执果索因的证明方法 2命题“ABC中，若AB，则ab”的结论的否定是_.温故夯基综合法分析法ab知新益能1间接证明 不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种_的方法通常称为间接证明 _就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有_、_等2反证法(1)反证法证明过程 反证法证明时，要从_开始，经过_导致_,从而达到_(即肯定原命题),不是直接证明反证法法枚举法否定结论推理逻辑矛盾新的否定正确的同一用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下面的框图表示：肯定条件p否定结论
2、q导致逻辑矛盾“p且綈q”为假“若p则q”为真(2)反证法证明命题“若p则q”的步骤 _假设_不成立，即假定原结论的反面为真；归谬从_和_出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；存真由_，断定反设不真，从而肯定原结论成立 反设命题的结论反设已知条件矛盾结果问题探究1反证法解题的实质是什么？提示：用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而证明原结论正确 2用反证法证明命题“若p则q”时，为什么綈q假q就真？提示：在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一，所以命题结论q的反面綈q错误时，q就一定正确 课堂互动讲练 用反证法证明否定性命题 结论中含有“不”、“不是”、“
3、不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适于应用反证法 例1如图，设SA，SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直【思路点拨】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”，再导出矛盾，从而肯定“不垂直”【证明】假设AC平面SOB，因为直线SO在平面SOB内，所以ACSO.又SO底面，所以SOAB.所以SO平面SAB.故平面SAB底面 这与已知条件矛盾，所以假设不成立 即AC与平面SOB不垂直【名师点评】通过否定给出命题，将原来的否定性命题转化为肯定命题，再加以利用，找出矛盾 变式训练 1
4、证明 1，3，2 不能为同一等差数列的三项证明：假设 1，3，2 是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为 d，则 1 3md,2 3nd(其中 m，n 为两个正整数)由上面两式消去 d，得 n2m 3(nm)因为 n2m 是有理数，而 3(mn)为无理数，所以 n2m 3(nm)因此假设不成立，即 1，3，2 不能为同一等差数列的三项用反证法证明惟一性命题结论中含有“有且只有”，“只有一个”，“惟一存在”等词语的命题，表达了结果的“惟一性”，结论易于否定，也易于推出矛盾，常用反证法来证明 例2求证：两条相交直线有且只有一个交点【思路点拨】属于惟一性命题，用反证法证明比较简单【证明】假设结
5、论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点 若直线a，b无交点，则ab或a，b是异面直线，与已知矛盾 若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾 综上所述，两条相交直线有且只有一个交点【名师点评】注意本题反设中不能漏掉“无交点”这种情况 变式训练2 求证：方程5x12的解是惟一的 证明：由对数的定义易得，x1log512是这个方程的一个解 假设这个方程的解不是惟一的，它还有解xx2(x1x2)，则5x212.因为5x112，则1，即5x2x11.由假设，得x2x10，从而，当x2x10时，有5x2x11；当x
6、2x10时，有5x2x11.显然，都与矛盾，这说明假设不成立 所以原方程的解是惟一的 用反证法证明“至多”“至少”存在性问题 当一个命题的结论以“最多”、“最少”等形式出现时，宜用反证法(本题满分14分)已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由yax22bxc，ybx22cxa和ycx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点 例3【思路点拨】假设三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点演绎推理，利用0得出矛盾 原命题得证【规范解答】假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点.3分 由yax22bxc，ybx22cxa，ycx22axb，得1(2b)24ac0，且2
7、(2c)24ab0，且3(2a)24bc0.6分 同向不等式求和得：4b24c24a24ac4ab4bc0 9分 2a22b22c22ab2bc2ac0，10分(ab)2(bc)2(ac)20，11分 abc.12分 这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证.14分【名师点评】注意“至少有一个”、“至多有一个”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”变式训练 3 若 x、y、z 均为实数，且 ax22y2，by22z3，cz22x6.求证：a、b、c 中至少有一个大于零证明：假设 a、b、c 都不大于零，即 a0，b0，c0，则 abc0，即x22y2 y22z3 z
8、22x6 0，整理得(x1)2(y1)2(z1)230，显然不成立所以 a、b、c 中至少有一个大于零方法感悟1用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完整的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的2在反证法中，常见的“结论词”与“反设词”原结 论词 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个 反设词 一个也没有(不存在)至少有两个 至多有(n1)个 至少有(n1)个 论原结词 只有一个 对所有x成立 对任意x不成立 反设词 没有或至少有两个 存在某个x不成立 存在某个x成立 原结论词 都是 一定是 p或q p且q 反设词 不都是 不一定是 綈p且綈q 綈p或綈q