1、天津市部分区2023年高三质量调查试卷（一）数学本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.祝各位考生考试顺利!第I卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：如果事件互斥，那么.如果事件相互独立，那么.一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用补集和并集的定义可求得集合.【详解】因为全集，则，又因为集合，因此，.故选：B.2
2、. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用作差法结合得出等价条件，即可得出结论.【详解】因为，由可得，则，即，因此，若，则“”是“”充要条件.故选：C.3. 函数f(x)=在，图像大致为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称又故选D【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题4. 为了解某校今年准备报
3、考飞行员的学生的体重情况，对所得的体重数据（单位：）进行分组，区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，.，第五组.画出频率分布直方图（如图所示），已知第一组，第二组和第三组的频率之比为，且第一组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（ ）A. 48B. 50C. 54D. 60【答案】A【解析】【分析】由题意设前三小组的频率分别为，根据频率之和为，即可得到，从而得到.【详解】设报考飞行员人数为，根据前三个小组的频率之比为，可设前三小组的频率分别为，且频率之和为，即，解得则，解得.故选:A5. 已知a=21.3，b=40.7，c=log38，则a，b，c的大小关系为（ ）A. B.
4、C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质即可比较a，b，c的大小【详解】，故选：C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6. 已知，则（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】先取倒数，再应用对数运算律计算即可.【详解】因为,所以，.故选:B.7. 已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点.若，则的离心率为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件及点到直线的距离公式，结合双曲线的离心率公式即可求解.【详解】双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径的圆与
5、的一条渐近线交于两点.当时，可得点到渐近线的距离为，即，整理可得，即所以的离心率为故选：A.8. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正四棱锥的几何性质列出等量关系，进而即可求解.【详解】设正四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角形底边上的高为，则由题意可知，因此有，即，解得，因为，所以.所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为故选：D.9. 已知函数的图象的一个对称中心为，则关于有下列结论
6、：的最小正周期为；是图象的一条对称轴；在区间上单调递减；先将函数图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象向左平移个单位长度，得到的图象.其中正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】化简函数，将代入得函数为0，可求得，进而可得，可判断A；通过计算，可判断B；当时，可得在上的单调性，可判断C；通过振幅变换和平移变换，可判断D.【详解】，因为图象的一个对称中心为，则，所以.所以，对于，的最小正周期为，故正确；对于，故正确；对于，当时，又在上先单调递减，所以在上单调递减，故正确；对于，将函数图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象向左平移
7、个单位长度，得到，故正确.故选：D.第II卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题，共105分.二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10. 已知是虚数单位，化简的结果为_.【答案】【解析】【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】.故答案为：.11. 在的二项展开式中，含的项的系数是_（用数字作答）【答案】240【解析】【分析】先得到通项，再根据系数得到项数，然后计算即可.【详解】根据二项式定理,的通项为，当时,即时,可得.即项的系数为.故答案为：.12. 直线与圆相交，所得的弦的长为_
8、.【答案】【解析】【分析】写出圆的标准方程，然后利用弦长公式计算即得.【详解】因为圆即：，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得弦长为：.故答案为：.13. 袋中装有大小形状完全相同的2个白球和4个红球，每次抽取1个球.若无放回的抽取，已知第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率是_；若有放回的抽取，则在3次抽取中恰有2次抽到白球的概率是_.【答案】 . . 【解析】【分析】根据题意，由条件概率公式代入计算即可得到结果；根据二项分布的概率计算公式，即可得到结果.【详解】设第一次抽到白球为事件，第二次抽到白球为事件，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为，因为，所以.若有放回的抽取
9、，设在3次抽取中抽到的白球个数为，则服从二项分布，即，所以.故答案为: ;.14. 在中，为的中点，过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，设，若用、表示，则_；若，则的最小值是_.【答案】 . . 【解析】【分析】求出关于、的表达式，再由已知条件可得出，可得出关于、的表达式，求出、关于、的表达式，根据可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】如下图所示：因为为的中点，则，因为，则，因为，则，因为、三点共线，则，所以，存在实数使得，即，所以，消去可得，即，所以，因为过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，且，则，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立.因此，的
10、最小值是.故答案为：.15. 设.对，用表示中的较大者.若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】设，等价于函数的图象与的图象恰有一个交点.作出函数的图象，通过抛物线的切线求出切线的的值，数形结合分析即得解.【详解】设.由得，所以函数的图象与的图象恰有一个交点.作出函数的图象，如图所示.抛物线的顶点的横坐标为纵坐标为，所以.当时，所以点是抛物线和对数函数图象交点.设抛物线的切点坐标为，.所以切点坐标为，所以.所以当时，函数的图象与的图象恰有一个交点.由题得直线AB的斜率为.当时，所以.当时，.所以当时，函数的图象与的图象恰有一个交点.综上，当或时，函数的图象与的图象
11、恰有一个交点.故答案为：【点睛】关键点睛：本题有两个关键，其一，是作出函数的图象；其二，是要通过数形结合分析得到参数的取值范围.三解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 在中，角的对边分别为.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）利用正弦边角关系及余弦定理求值即可；（2）由同角三角函数关系及正弦定理求值即可；（3）应用二倍角公式求对应函数值，再由差角正弦公式求值即可.【小问1详解】由及正弦定理得：，由余弦定理得.【小问2详解】由（1）知：，由正弦定理，得.【小问3详解】由，且，即，.17.
12、如图，在四棱锥中，是的中点，平面，且，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的大小.【答案】（1）证明见解析 （2） （3）.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出的坐标，计算，即可证明结论；（2）求出平面的法向量，利用空间角的向量求法，可得答案；（3）求出平面的法向量，利用空间角的向量求法，可得答案；【小问1详解】证明：由题意平面，以原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，则，所以，所以【小问2详解】，设平面的法向量，则，即，令，则，,设直线与平面所成的角为，则,所以与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】,设平面的法
13、向量，则，即，令，则，则.又平面的法向量，设平面与平面夹角为，则为锐角，所以平面与平面夹角为.18. 在公差不为零的等差数列和等比数列中，为的前项和.已知，且是与的等比中项.（1）求和的通项公式；（2）记数列的前项和为，求；（3）求.【答案】（1）， （2） （3）【解析】【分析】（1）设的公差为，的公比为，由题意可得，求得，即可求得的通项公式，接着可得，算出即可；（2）利用错位相减法求解即可；（3）化简，然后分为偶数和为奇数进行求和即可【小问1详解】设的公差为，的公比为，由题意，即，解得，.，.【小问2详解】得.【小问3详解】当为偶数时，当为奇数时，19. 已知椭圆的左右焦点分别为、，过作斜
14、率为的直线与椭圆相交于、两点，且与轴垂直.（1）求椭圆的离心率；（2）若三角形的面积为，求椭圆的方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求出点的坐标，根据可得出关于、的齐次等式，即可解得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可得出椭圆的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点、的坐标，利用三角形的面积公式可求得的值，即可得出椭圆的方程.【小问1详解】解：将代入椭圆的方程可得，解得，因为直线的斜率为，易知点，所以，所以，等式两边同时除以可得，因为，解得.因此，该椭圆的离心率为.【小问2详解】解：由（1）知，故椭圆方程为，由题意，则直线的方程为，联立，消去并化简可得，显然，设点、，解得或
15、，故点、，所以，解得，因此，椭圆的方程为.20. 已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求在区间上的极值；（3）设函数，.当时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1） （2）答案见解析 （3）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；（2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的极值；（3）根据对勾函数的性质求出，依题意不等式恒成立，只需恒成立，利用导数说明函数的单调性，结合（2）中的结论求出参数的取值范围.【小问1详解】当时， 所以， ， 所以曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】，.当时，在上单调增， 所以无极值； 当时，令
16、，得，列表如下：单调递减极小值单调递增所以的极小值为，无极大值；综上可得：当时函数无极值，当时极小值为，无极大值；【小问3详解】易知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为. 所以. 因为， 由题意，对于任意的实数，不等式 恒成立，只需恒成立，所以，解得，又，所以. 当时，因为，所以，由（2）知，在上单调增，所以.所以， 所以在上单调增，则，解得，此时， 当时，由（2）知，在上单调递增，且，又，所以存在，且，使得，即，得. 所以的解为和，列表如下：a单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，即，又，所以恒成立，此时，综上所述，实数的取值范围为【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理
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