1、高碑店一中20202021学年度高二年级期末考试数学一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A. 100B. 150C. 200D. 250【答案】A【解析】试题分析：根据已知可得：，故选择A 考点：分层抽样2. 若复数z满足，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据复数z满足，利用复数的除法得到，再利用求模公式求解.【详解】因为复数z满足，所以，所以
2、，故选：B【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的模，属于基础题.3. 已知命题：，：，则是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：根据题意，求得，即可利用集合之间的关系，判定得到结论.详解：由题意可得，解得，则“”是“”成立的充分不必要条件，即“”是“”成立的充分不必要条件，故选A.点睛：本题考查了充分不必要条件的判定，其中正确求解命题，利用集合之间的大小关系是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.4. 若直线xym0被圆(x1)2y25截得的弦长为，则m的值为()A. 1B. 3C. 1或3D. 2【答案】C【解析
3、】因为圆的圆心，半径，又直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，因此，所以或，故选C.点睛：本题主要考查了直线与圆相交求截得弦长问题，属于基础题；求直线被圆所截得的弦长时，根据圆的性质通常考虑由弦心距，弦长的一般作为直角边，圆的半径作为斜边，利用勾股定理来解决问题，通常还会用到点到直线的距离公式.5. 下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（ ）A. 直线与直线平行B. 直线与直线相交C. 直线与直线异面垂直D. 直线与直线异面且所成的角为60【答案】D【解析】【分析】首先画出正方体的展开图的立体图，从而得到直线与直线为异面直线，再求异面直线所成角即可得到答案.【详解】正方体的展开图的立
4、体图形如图所示：由图知：直线与直线为异面直线，故A，B错误；连接，因为，所以或其补角为异面直线与所成角.又因为为等边三角形，所以.所以直线与直线异面且所成的角为60，故C错误，D正确.故选：D【点睛】本题主要考查异面直线成角问题，属于简单题.6. 从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：全是红球的概率为，所以对立事件不全是红球的概率为考点：古典概型概率点评：古典概型概率的求解首先要找到所有基本事件种数与满足题意的基本事件种数，然后求其比值即可，求解过程中常结合对立事件互斥事件考虑7. 某公司为确定明年投入某产
5、品的广告支出，对近年的广告支出与销售额（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算,年广告支出与年销售额满足线性回归方程,则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题意得，所以，解得，故选D考点：线性回归方程.【方法点晴】本题主要考线性回归方程的应用，其中解答中涉及到线性回归直线方程的概念、回归直线方程基本特征等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题比较简单，属于基础题，正确理解线性回归直线方程的基本特征和正确计算样本数据的中心点是解得此类问题的关键.8. 唐代诗人李颀诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗
6、中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出点A关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短.【详解】解：设点A关于直线的对称点，的中点为，故解得，要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为，故选A.【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的
7、位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题.二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是（ ）A. 若|z1z2|0，则B. 若，则C. 若|z1|z2|，则D. 若|z1|z2|，则【答案】ABC【解析】【分析】对A，由|z1z2|0，则z1z2，再判断是否正确；对B，由共轭复数的概念判断；对C，可用代数形式代入运算判断正误；对D，可举反例，令进行判断.【详解】对于A，若|z1z2|0，则z1z20，z1z2
8、，所以为真；对于B，若，则z1和z2互为共轭复数，所以为真；对于C，设z1a1b1i，z2a2b2i，,若|z1|z2|，则，即，所以，所以为真；对于D，若z11，z2i，则|z1|z2|，而，所以为假.故选：ABC.【点睛】本题考查了复数的概念，复数的运算，属于基础题.10. 函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）A. 在上函数为增函数B. 在上函数为增函数C. 在上函数有极大值D. 是函数在区间上的极小值点【答案】AC【解析】【分析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.所以A选项正确，B选项错误.在区间
9、上，有极大值为，C选项正确.在区间上，是的极小值点，D选项错误.故选：AC11. 已知双曲线的一条渐近线，设，是C的左右焦点，点P在l上，且，O为坐标原点，则（ ）A. C的虚轴长为B. C. D. 的面积为【答案】ABD【解析】【分析】求出双曲线的标准方程和基本量，根据双曲线的定义及直角三角形的有关性质逐一选择.【详解】由渐近线，可得，所以虚轴长为，A正确；由，为直角三角形，B正确；因为点P不在双曲线上，根据双曲线的定义，C不正确；由渐近线，知，D正确.故选: ABD【点睛】本题考查由根据渐近线方程确定双曲线的基本量，同时考查双曲线的定义，属于基础题.12. 如图所示，在正方体中，分别为棱，
10、的中点，其中正确的结论为（ ）A. 直线与是相交直线；B. 直线与是平行直线；C. 直线与是异面直线：D. 直线与所成的角为.【答案】CD【解析】【分析】根据图形及异面直线的定义，异面直线所成的角判断即可.【详解】结合图形，显然直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与是异面直线，直线与所成的角即直线与所成的角,在等边中，所以直线与所成的角为,综上正确的结论为C D.【点睛】本题主要考查了异面直线，异面直线所成的角，属于中档题.三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 命题“”的否定是_【答案】【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可求解.【详解】“”的否定是，故答案为：1
11、4. 直线与曲线相切于点（2，3），则 b的值为 【答案】【解析】【分析】【详解】切点在曲线上，则曲线在点处切线的斜率为由题意切线方程为且点在切线上，所以b=.【点睛】本题主要考查曲线上一点处的切线方程，属于中档题，由于曲线和曲线上一点处切线方程中均有参数，在解题时一定要注意切点不仅在切线上，而且还在曲线上，否则题目中的参数很难求出考点：1、导数几何意义；2、曲线的切线方程15. F是抛物线的焦点，P是C上且位于第一象限内的点，点P在C的准线上的射影为Q，且，则外接圆的方程为_.【答案】【解析】【分析】由题可判断为直角三角形，即外接圆的圆心为中点，求出圆心和半径即可写出圆的方程.【详解】由抛物
12、线方程可知焦点，准线方程为，即，则，即为直角三角形，外接圆的圆心为中点，即圆心为，半径为，外接圆的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的方程的求解，属于基础题.16. 已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围可以是_.【答案】【解析】【分析】分段求导得到函数单调区间，画出函数图像，即，根据图像得到答案.【详解】当时，令，解得，(舍去).，为减函数，为增函数.当时，令，解得，减函数，为增函数.，且当时，.函数图像如图所示：因为方程有两个不相等的实根，等价于函数与有2个交点，所以或.故答案为：.【点晴】关键点睛：本题考查了函数的零点问题，利用导数求出单调区间得到
13、函数图像是解题的关键.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 某市教育局为了了解高三学生体育课达标情况，在某学校的高三学生体育课达标成绩中随机抽取50个进行调研，按成绩分组：第1组，第2组 ，第3组，第4组 ，第5组，得到的频率分布直方图如图所示：若要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查（1）已知学生甲和学生乙的成绩均在第五组，求学生甲或学生乙被选中复查的概率；（2）在已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受篮球项目的考核，求其中一个在第三组，另一人在第四组的概率【答案】（1） ；（2）.【解析】试题分析：（1） 设“学生甲或学生乙
14、被选中复查” 为事件，根据分层抽样的方法求出每组的人数，继而根据古典概型概率公式即可求出；（2） 记第三组选中的三人分别是，第四组选中的二人分别为第五组选中的人为，列举出所有的基本事件，根据古典概型概率公式计算即可.试题解析：（1）设“学生甲和或学生乙被选中复查”为事件，第三组人数为，第四组人数为，第五组人数为， 根据分层抽样知，第三组应抽取 人，第四组应抽取人，第五组应抽取人， 所以 （2）记第三组选 中的人分别是，第四组选中的2人分别为，第五组选中的人为，从这人中选出人，有以下基本事件：，共个基本事件 符合一人在第三组、一人在第四组的基本事件有，共个，所以所求概率 考点：1、频率分布直方图
15、；2、古典概型概率公式.18. 已知圆C：x2y24x6y120，点A(3，5)(1)求过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求AOC的面积S.【答案】（1）或；（2）【解析】试题分析：（1）当切线的斜率存在时，设为，写出切线方程，圆心到切线的距离等于半径，解出求出切线方程，切线的斜率不存在时验证即可；（2）先求直线的方程，再求到的距离，再求的长度，然后求出三角形的面积.试题解析：(1)由圆：，配方，得，圆心，当斜率存在时，设过点的圆的切线方程为， 即，由，得，又斜率不存在时直线也与圆相切，故所求切线方程为或.(2)直线的方程为，即，点到直线的距离为，又，所以.点睛：本题
16、主要考查了直线与圆的位置关系之相切，属于基础题；求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.19. 某市房地产数据研究所的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.（1）地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价（万元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，试求关于的回归直线方程；（2）若政府不调控，按照3月份至7月份房价的变化趋势预测12月份该市新建住宅的销售均价. 参考数据：
17、参考公式：.【答案】(1) (2) 销售均价约为1.52万元/平方米【解析】分析：（1）由题意，计算，求出，即可写出回归方程；（2）利用（1）中回归方程，计算时的值即可.详解：（1）月份34567均价0.950.981.111.121.20计算可得，所以，所以关于的回归直线方程为.（2）将代入回归直线方程得，所以预测12月份该市新建住宅的销售均价约为1.52万元/平方米.点睛：本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，正确计算是解题的关键.20. 如图，在四棱锥中，平面，二面角为，为的中点，点在上，且0（1）求证：四边形为直角梯形；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【
18、分析】（1）通过证明，且可得四边形为直角梯形；（2）过点作的垂线交于点，则，以为坐标原点，分别以，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出面和面的法向量，求出法向量的夹角即可得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为平面，所以因为，且，所以四边形为直角梯形；（2）过点作的垂线交于点，则，以为坐标原点，分别以，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，由（1）知，又，则为二面角的平面角，则，所以，所以，所以，设平面的法向量，则，即令：，则，所以，又平面的法向量，所以，由题意知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直，线线垂直的性质，以及空间向量法求二面角，考查计
19、算能力与空间想象能力，是基础题.21. 已知点，椭圆的离心率为，F是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于两点，当的面积最大时，求l的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用的斜率、离心率以及，求得，从而求得椭圆的方程.（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求得两点的横坐标，从而求得，结合点到直线距离公式求得的面积，利用基本不等式求得的面积的最小值，以及直线的方程.【详解】（1）设，由条件知，得，又，所以，故E的方程.（2）依题意当轴不合题意，故设直线，设将代入，得，当，即时，从而，又点O到直线的距离，所以的面积，设，则，当且
20、仅当等号成立，且满足，所以当的面积最大时，l的方程为：或.【点睛】直线和椭圆的位置关系中，有关三角形面积的问题，可利用弦长公式以及点到直线距离公式来求三角形的面积.22. 设,函数.(1) 若，求曲线在处的切线方程；(2)求函数单调区间(3) 若有两个零点,求证: .【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】【详解】分析：（1）求出，由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令，可得函数的增区间，可得函数的减区间；（3）原不等式等价于 令,则,于是，利用导数可证明，从而可得结果.详解：在区间
21、上,. （1）当时，则切线方程为，即（2）若,则,是区间上的增函数, 若,令得: .在区间上, ,函数是增函数; 在区间上, ,函数是减函数; (3)设 ,原不等式 令,则,于是.（9分）设函数 ,求导得: 故函数是上的增函数, 即不等式成立,故所证不等式成立.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.