1、天津市部分区20212022学年度第二学期期末练习高一数学一选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由向量坐标的加运算直接计算即可.【详解】因为，所以.故选：A.2. 若复数（为虚数单位），则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由已知求出复数，再求其模即可【详解】因为，所以，故选：B3. 棱长为1的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为（ ）（注：球的体积，其中为球的半径）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正方体
2、外接球直径与其体对角线长之间的关系，求出球半径即可计算作答.【详解】因正方体的体对角线长等于该正方体外接球直径，则球半径，所以球的体积为.故选：A4. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（ ）A. 相等的角在直观图中仍然相等B. 相等的线段在直观图中仍然相等C. 正方形在直观图中仍然是正方形D. 平行的线段在直观图中仍然平行【答案】D【解析】【分析】根据斜二测画法的规则对四个选项逐一分析即可.【详解】选项A：通过举反例，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，A错误.选项B：由于斜二测画法的法则是平行于x轴的线平行性与长度都不变；平行于y轴的线平行性不变，但长度变为原长度
3、的一般，故B错误.选项C：正方形的两临边相等，但在直观图中不相等，C错误.选项D：由斜二测画法可知，平行的线段在直观图中仍然平行，D正确.故选：D.5. 假设，且A与相互独立，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据独立事件的并事件的概率公式：，代入运算求解【详解】故选：C6. 在中，角的对边分别为.若，则的值为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由余弦定理直接求解即可.【详解】在中，已知，由余弦定理得：所以.故选：A.7. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）A. 平均数为
4、3，中位数为2B. 中位数为3，众数为2C. 平均数为2，方差为2.5D. 中位数为3，方差为2.8【答案】C【解析】【分析】根据题意举出反例，即可得出正确选项【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差，平均数为2，方差为2.5时，一定没有出现点数6，故C正确；对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：方差为，可以出现点数6，故D错误故选：C8. 甲乙
5、两人独立地破译一份密码，已知甲乙能破译的概率分别是，则密码被破译的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分一人破译和两人破译，再利用独立事件的概率求解.【详解】解：因为甲乙两人独立地破译一份密码，且甲乙能破译的概率分别是，所以密码被破译的概率为，故选：D9. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】由线面平行，面面平行，线面垂直的判定和性质逐个分析判断即可【详解】对于A，当时，可能平行，也可能相交，所以A错误，对于B，当时，可能平行，可能异面，所以B错误，对于C，当时，或，
6、所以C错误，对于D，当时，由面面平行的性质可得，所以D正确，故选：D10. 若平面向量，两两的夹角相等，且，则（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】根据题意，由平面向量，两两的夹角相等可得夹角为或，对夹角的取值分类讨论即可求出的值【详解】解：由平面向量，两两的夹角相等，得夹角为或，当夹角为时，当夹角为时，故选：二填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11. 一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品.若从中任取2支，那么两支都是一等品概率为_.【答案】#【解析】【分析】根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】盒子中装有6支圆珠笔，从中任取2支
7、，包含个，其中两支都是一等品的包含个，所以两支都是一等品的概率为为.故答案为：12. 已知，若，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】利用坐标运算中向量共线的条件即可求解.【详解】因为，且，所以，所以.故答案为：.13. 从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生，将他们的数学检测成绩分成六段（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）：，得到如图所示的频率分布直方图，则得分在内的人数为_.【答案】【解析】【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，可得a的值，再根据总人数和的频率，即可得答案.【详解】因为频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，所以，解得，所以分数在内的人数为.故答案为：
8、6.14. 在正方体中，直线与底面所成角的余弦值为_.【答案】【解析】【分析】根据线面角的定义找到直线与底面所成的角，在中计算出余弦值为所求【详解】在正方体中，平面，直线与底面所成角为，设正方体棱长为，则，在中，故答案为：15 给出下列四个命题，非零向量满足，则与的夹角是；若，则为等腰三角形；若单位向量的夹角为，则当取最小值时，；若为锐角，则实数的取值范围是.则其中所有正确的序号为_.【答案】【解析】【分析】利用向量加法法则计算判断；利用向量数量积运算律计算判断；利用向量模及数量积运算计算判断；利用向量夹角为锐角求出m范围判断作答.【详解】对于，如图，点D是线段PQ的中点，因，则是正三角形，即
9、夹角为，所以与的夹角是，正确；对于，在中，由得，即，为等腰三角形，正确；对于，当且仅当时，取得最小值，正确；对于，因为锐角，则且与不共线，由得，解得，当与共线时，解得，所以实数的取值范围是且，不正确.故答案为：【点睛】结论点睛：两个向量夹角为锐角的充要条件是这两个向量的数量积大于0，并且它们不共线；两个向量夹角为钝角的充要条件是这两个向量的数量积小于0，并且它们不共线.三解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.16. 已知复数，（1）若是纯虚数，求实数的值；（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）若是
10、纯虚数，则实部为，虚部不为，列方程组求解即可；（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于，虚部小于，列不等式组求解即可【详解】（1）若复数纯虚数，则，解得，所以（2）复数在复平面内对应的点位于第四象限则即所以，实数的取值范围是17. 某校举行演讲比赛，10位评委对一名选手的评分数据如下：（1）根据以上数据，估计该选手得分的样本数据的第75百分位数；（2）该选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分，求剩下8个评分数据的平均数和方差.（注：一组数据的平均数为，它的方差为）【答案】（1） （2）平均数为，方差为【解析】【分析】（1）将以上数据进行排序根据得该选手评分的样本数据为第八个数据可
11、得答案； （2）去掉一个最低分和一个最高分，计算出剩下个评分数据的平均数，计算其方差可得答案.【小问1详解】将数据进行排序得到，因为样本数据的第百分位数，所以，该选手评分的样本数据为第八个数据，所以，该选手评分的样本数据的第百分位数为.【小问2详解】去掉一个最低分和一个最高分，剩下个评分数据的平均数为：，所以其方差为：.18. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知（1）求的值；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求的值即可；（2）利用正弦定理求得，结合角的范围可得，再由二倍角的正余弦公式以及两角和的正弦公式可得结果【详解】（1）在中，
12、由，整理得，又由余弦定理，可得；（2）由（1）可得，又由正弦定理，及已知，可得；可得，由已知，可得，故有，为锐角，故由，可得，从而有,【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”19. 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求的概率【答案】（1），（2）【解析】【详解】（1）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3
13、,2和4,3和4，共6个，从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个因此所求事件的概率为.（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n，其中一切可能的结果（m，n）有：（1,1）（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1）（3， 2），（3,3）（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个所有满足条件nm2的事件为（1,3）（1,4）（2,4），共3个，所以满足条件nm2的事件的概率为P1故满足条件nm2的事件的概率为1P11.20. 如图，在四棱锥中，底面是
14、矩形.已知（1）证明平面；（2）求异面直线与所成的角的正切值；（3）求二面角的正切值.【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）由题意可证得，再由线面垂直的判定定理即可证明.（2）由题设，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.由题意可证明是直角三角形，再求出的值代入即可得出答案.（3）过点作于，连结.可证得是二面角的平面角.求出，代入即可求出答案.【小问1详解】证明：在中，由题设于是.在矩形中，.又，所以平面.【小问2详解】由题设，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.在中，由余弦定理得由（1）知平面平面，所以，因而，于是是直角三角形，故所以异面直线与所成的角的正切值为【小问3详解】过点作于，连结由（1）可知平面，又，所以平面，可得，从而是二面角的平面角.由题设可得，所以.于是，所以二面角的正切值为.
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