1、2017年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1已知集合A=0，1，2，B=y|y=2x，xA则AB=（）A0，1，2B1，2C1，2，4D1，42已知复数z=1+i，则下列命题中正确的个数为（）；z的虚部为i；z在复平面上对应点在第一象限A1B2C3D43下列函数中，既是奇函数又在（0，+）单调递增的函数是（）Ay=ex+exBy=ln（|x|+1）CD4圆（x2）2+y2=4关于直线对称的圆的方程是（）ABCx2+（y2）2=4D5堑堵，我国古代数学名词，其三视
2、图如图所示九章算术中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”（注：一丈=十尺）答案是（）A25500立方尺B34300立方尺C46500立方尺D48100立方尺6某游戏设计了如图所示的空心圆环形标靶，图中所标注的一、二、三区域所对的圆心角依次为，则向该标靶内投点，该点落在区域二内的概率为（）ABCD7在ABC中，D为三角形所在平面内一点，且，则=（）ABCD8运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A1008B1009C2016D20179关于函数，下列叙述有误的是（）A其图
3、象关于直线对称B其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到C其图象关于点对称D其值域是1，310如图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门11双曲线C的渐近线方程为y=，一个焦点为F（0，），点A（，0），点P为双曲线第一象限内的点，则当P点位置变化时，PAF周长的最小值为（）A8B10CD
4、12已知定义域为R的函数f（x）的图象经过点（1，1），且对任意实数x1x2，都有，则不等式的解集为（）A（，0）（0，1）B（0，+）C（1，0）（0，3）D（，1）二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13 =14已知实数x，y满足，则的最大值为15将1，2，3，4，正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数是16已知四棱锥PABCD的底面为矩形，PBC为等边三角形，平面PBC平面ABCD，BC=3，则四棱锥PABCD外接球半径为三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17已知数列
5、an满足，an+1=3an1（nN+）（1）若数列bn满足，求证：bn是等比数列；（2）若数列an的前n项和Sn18为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如右图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米（1）完成22列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？（2）为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方式从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5株玉米中选取2株进行杂交实验，选取的植株均为矮茎的概率是多少？P（K2k）0.150
6、.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中n=a+b+c+d）19已知三棱锥ABCD中，ABC是等腰直角三角形，且ACBC，BC=2，AD平面BCD，AD=1（1）求证：平面ABC平面ACD；（2）若E为AB中点，求点A到平面CED的距离20已知抛物线C：y2=2px（p0）与直线相切（1）求该抛物线的方程；（2）在x轴正半轴上，是否存在某个确定的点M，过该点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，使得为定值如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由21已知函数（1）若f（x）存在极值点为1，求a的值
7、；（2）若f（x）存在两个不同零点x1，x2，求证：（e为自然对数的底数，lne0.6931）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程选讲22已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系曲线C1的极坐标方程为2（3+sin2）=12，曲线C2的参数方程为（t为参数，）（1）求曲线C1的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；（2）设曲线C2与曲线C1的交点为A，B，P（1，0），当时，求cos的值选修4-5：不等式选讲23（1）如果关于x的不等式|x+1|+|x5|m的解集不是空集，求m的取值范围；（2）若a，
8、b均为正数，求证：aabbabba2017年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1已知集合A=0，1，2，B=y|y=2x，xA则AB=（）A0，1，2B1，2C1，2，4D1，4【考点】交集及其运算【分析】由题意求出集合B，由交集的运算求出AB【解答】解：由题意可知，集合A=0，1，2，则B=y|y=2x，xA=1，2，4，所以AB=1，2，故选：B2已知复数z=1+i，则下列命题中正确的个数为（）；z的虚部为i；z在复平面上对应点在第一象限A1
9、B2C3D4【考点】复数求模【分析】利用复数的模、共轭复数、虚部与复数与平面内点的对应关系即可判断出正误【解答】解：复数z=1+i，正确；，正确；z的虚部为1；z在复平面上对应点（1，1）在第一象限 可得：正确，错误故选：C3下列函数中，既是奇函数又在（0，+）单调递增的函数是（）Ay=ex+exBy=ln（|x|+1）CD【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数的单调性和奇偶性判断即可【解答】解：对于A、B选项为偶函数，排除，C选项是奇函数，但在（0，+）上不是单调递增函数故选：D4圆（x2）2+y2=4关于直线对称的圆的方程是（）ABCx2+（y2）2=4D【考点】关于点、直线对称的圆
10、的方程【分析】求出圆（x2）2+y2=4的圆心关于直线对称的坐标，即可得出结论【解答】解：设圆（x2）2+y2=4的圆心关于直线对称的坐标为（a，b），则，a=1，b=，圆（x2）2+y2=4的圆心关于直线对称的坐标为，从而所求圆的方程为故选D5堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示九章算术中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”（注：一丈=十尺）答案是（）A25500立方尺B34300立方尺C46500立方尺D48100立方尺【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图
11、得到几何体为横放的三棱柱，底面为直角三角形，利用棱柱的体积公式可求【解答】解：由已知，堑堵形状为棱柱，底面是直角三角形，其体积为立方尺故选C6某游戏设计了如图所示的空心圆环形标靶，图中所标注的一、二、三区域所对的圆心角依次为，则向该标靶内投点，该点落在区域二内的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】设三个区域圆心角比值为3：4：5，求出区域二所占面积比，即可得出结论【解答】解：设三个区域圆心角比值为3：4：5，故区域二所占面积比故选B7在ABC中，D为三角形所在平面内一点，且，则=（）ABCD【考点】向量在几何中的应用【分析】画出图形，利用三角形以及向量关系，求解三角形的面积即可【解答】解
12、：由已知在ABC中，D为三角形所在平面内一点，且，点D在AB边的中位线上，且为靠近BC边的三等分点处，从而有则=故选：D8运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A1008B1009C2016D2017【考点】程序框图【分析】由已知，S=01+23+4+2015+2016=1008，即可得出结论【解答】解：由已知，S=01+23+4+2015+2016=1008故选A9关于函数，下列叙述有误的是（）A其图象关于直线对称B其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到C其图象关于点对称D其值域是1，3【考点】正弦函数的对称性【分析】利用正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论【解
13、答】解：关于函数，令x=，求得y=1，为函数的最小值，故A正确；由图象上所有点的横坐标变为原来的倍，可得y=2sin（3x+）的图象，故B正确；令x=，求得y=1，可得函数的图象关于点（，1）对称，故C错误；函数的值域为1，3，故D正确，故选：C10如图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门【考
14、点】进行简单的合情推理【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可【解答】解：由图可知D错误故选D11双曲线C的渐近线方程为y=，一个焦点为F（0，），点A（，0），点P为双曲线第一象限内的点，则当P点位置变化时，PAF周长的最小值为（）A8B10CD【考点】双曲线的简单性质【分析】利用已知条件求出a，b求出双曲线方程，利用双曲线的定义转化求解三角形的最小值即可【解答】解：双曲线C的渐近线方程为y=，一个焦点为，可得，c=，a=2，b=双曲线方程为，设双曲线的上焦点为F，则|PF|=|PF|+4，PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF|+4+|PA|+
15、3，当P点在第一象限时，|PF|+|PA|的最小值为|AF|=3，故PAF的周长的最小值为10故选：B12已知定义域为R的函数f（x）的图象经过点（1，1），且对任意实数x1x2，都有，则不等式的解集为（）A（，0）（0，1）B（0，+）C（1，0）（0，3）D（，1）【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明【分析】构造函数的思想，利用到函数研究函数单调性在根据单调性求解不等式即可【解答】解：由题意，令F（x）=f（x）+2x，由任意xy，可得f（x）+2xf（y）+2y，F（x）在定义域内单调递增，由f（1）=1，得F（1）=f（1）+2=3，等价于，令，有f（t）+2t3，则有t1
16、，即，从而|3x1|2，解得x1，且x0故选A二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13 =【考点】二倍角的余弦【分析】利用二倍角公式变形可得要求式子的值【解答】解：，故答案为：14已知实数x，y满足，则的最大值为7【考点】简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解最大值即可【解答】解：实数x，y满足，的可行域如图：由约束条件的图形可知：使目标函数取最大值的最优解为（4，6），故的最大值为7故答案为：715将1，2，3，4，正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数是91【考点】归纳推理【分析】由三角形
17、数组可推断出，第n行共有2n1项，且最后一项为n2，所以第10行共19项，最后一项为100，即可得出结论【解答】解：由三角形数组可推断出，第n行共有2n1项，且最后一项为n2，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91故答案为9116已知四棱锥PABCD的底面为矩形，PBC为等边三角形，平面PBC平面ABCD，BC=3，则四棱锥PABCD外接球半径为【考点】球内接多面体【分析】由已知，设三角形PBC外接圆圆心为O1，F为BC边中点，求出，利用勾股定理建立方程，即可求出四棱锥PABCD外接球半径【解答】解：由已知，设三角形PBC外接圆圆心为O1，F为BC边中点，求出，设四棱锥的
18、外接球球心为O，外接球半径的平方为，所以四棱锥外接球半径为故答案为三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17已知数列an满足，an+1=3an1（nN+）（1）若数列bn满足，求证：bn是等比数列；（2）若数列an的前n项和Sn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）由原式两边减，整理并结合等比数列的定义，即可得证；（2）运用等比数列的通项公式和数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，即可得到【解答】解：（1）证明：由数列an满足，an+1=3an1（nN+）可知，从而有bn+1=3bn，所以bn是以1为首项，3为公比的等比数列
19、；（2）由（1）知，从而，有前n项和Sn=（1+3+9+3n1）+=+=18为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如右图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米（1）完成22列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？（2）为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方式从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5株玉米中选取2株进行杂交实验，选取的植株均为矮茎的概率是多少？P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0
20、050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用；茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）计算K2，与临界值比较，即可得出结论；（2）确定基本事件的个数，即可求出相应的概率【解答】解：（1）根据统计数据做出22列联表如下：抗倒伏易倒伏合计矮茎15419高茎101626合计252045经计算k7.2876.635，因此可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关（2）分层抽样后，高茎玉米有2株，设为A，B，矮茎玉米有3株，设为a，b，c，从中取出2株的取法有AB，Aa，A
21、b，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种，其中均为矮茎的选取方式有ab，ac，bc共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是19已知三棱锥ABCD中，ABC是等腰直角三角形，且ACBC，BC=2，AD平面BCD，AD=1（1）求证：平面ABC平面ACD；（2）若E为AB中点，求点A到平面CED的距离【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（1）由AD平面BCD，可得ADBC，又ACBC，可得BC平面ACD，即可证明平面ABC平面ACD（2）由已知可得，取CD中点为F，连接EF，利用直角三角形斜边中线的性质可得：ECD为等腰三角形，由（1）知BC平面ACD，可得点E到
22、平面ACD的距离为1，令A到平面CED的距离为d，则，解得d【解答】（1）证明：AD平面BCD，BC平面BCD，ADBC，又ACBC，ACAD=A，BC平面ACD，BC平面ABC，平面ABC平面ACD（2）解：由已知可得，取CD中点为F，连接EF，ECD为等腰三角形，从而，由（1）知BC平面ACD，点E到平面ACD的距离为1，令A到平面CED的距离为d，则，解得20已知抛物线C：y2=2px（p0）与直线相切（1）求该抛物线的方程；（2）在x轴正半轴上，是否存在某个确定的点M，过该点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，使得为定值如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由【考点】直线与抛物线
23、的位置关系【分析】（1）联立方程有，通过=0，求出p=4，即可求解抛物线方程（2）假设存在满足条件的点M（m，0）（m0），直线l：x=ty+m，有，y28ty8m=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理弦长公式，化简求解即可【解答】（本小题满分12分）解：（1）联立方程有，有，由于直线与抛物线相切，得=8p232p=0，p=4，所以y2=8x（2）假设存在满足条件的点M（m，0）（m0），直线l：x=ty+m，有，y28ty8m=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=8t，y1y2=8m，当m=4时，为定值，所以M（4，0）21已知函数（1）若f（x）存在极
24、值点为1，求a的值；（2）若f（x）存在两个不同零点x1，x2，求证：（e为自然对数的底数，lne0.6931）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得f（1）=0，解方程可得a的值；（2）求出f（x）的导数，讨论当a0时，f（x）递增，不成立；当a0时，求出单调区间和极小值，由题意可得f（a）0，即整理得，令，运用零点存在定理，即可得证【解答】解：（1）函数，可得，因为f（x）存在极值点为1，所以f（1）=0，即22a=0，a=1，经检验符合题意，所以a=1；（2）证明：f（x）的导数为，当a0时，f（x）0恒成立，所以f（x）在（
25、0，+）上为增函数，不符合题意；当a0时，由f（x）=0得x=a，当xa时，f（x）0，所以f（x）为增函数，当0xa时，f（x）0，所f（x）为增函减数，所以当x=a时，f（x）取得极小值f（a），又因为f（x）存在两个不同零点，所以f（a）0，即整理得，令，h（a）在定义域内单调递增，由ln20.6931，e2.71828知，故成立请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程选讲22已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系曲线C1的极坐标方程为2（3+sin2）=12，曲线C2的参数方程为（t为参数，）（
26、1）求曲线C1的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；（2）设曲线C2与曲线C1的交点为A，B，P（1，0），当时，求cos的值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的关系化简曲线C1的极坐标方程为普通方程；（2）对参数方程x，y代入椭圆方程，然后根据直线参数方程的几何意义，设|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，结合韦达定理得到所求【解答】解：（1）由2（3+sin2）=12得，该曲线为椭圆（2）将代入得t2（4cos2）+6tcos9=0，由直线参数方程的几何意义，设|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，所以，从而，由于，所以选修4-5：不
27、等式选讲23（1）如果关于x的不等式|x+1|+|x5|m的解集不是空集，求m的取值范围；（2）若a，b均为正数，求证：aabbabba【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法【分析】（1）利用绝对值不等式推出|x+1|+|x5|6，转化不等式|x+1|+|x5|m的解集不是空集，推出m即可；（2）利用分析法，集合指数函数的性质，推出结果即可【解答】（本小题满分10分）解：（1）令，可知|x+1|+|x5|6，故要使不等式|x+1|+|x5|m的解集不是空集，有m6（2）证明：由a，b均为正数，则要证aabbabba，只需证aabbba1，整理得，由于当ab时，ab0，可得，当ab时，ab0，可得，可知a，b均为正数时，当且仅当a=b时等号成立，从而aabbabba成立2017年3月15日