1、 1平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的，那么对于这一平面内的任意向量a，我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的此定理告诉我们：平面内任意一个向量总可以用两个不共线的向量表示两个不共线向量一组基底有且只有一对实数1、2使a1e12e2 3正交分解 把一个向量分解为两个，叫做把向量正交分解AOB(0180)叫做向量a与b的夹角a与b垂直相互垂直的向量 4向量的直角坐标 在平面直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴i，j作为，对平面内的向量a，有且只有一对实数x，y，5向量的直角坐标运算 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ab；(2)ab；(3)若a(x，y
2、)，R，则a；(4)若A(x1，y1)、B(x2，y2)，则方向相同的两个单位向量基底使得axiyj，(x，y)就叫做在基底i，j下的坐标(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x，y)(x2x1，y2y1)6平面向量共线的坐标表示 若 a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，则ab的充要条件是.x1y2x2y10 8向量数量积的定义 已知两个非零向量a、b，它们的夹角为，我们把数量叫做a与b的数量积，记作ab，即，规定0向量与任一向量的数量积为0.9ab的几何意义(1)一个向量在另一个向量方向上的投影 设是向量a与b的夹角，则叫做a在b方向上的投影，叫做b在a方向上的投影(2)ab
3、的几何意义：ab等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积|a|b|cosab|a|b|cos|a|cos|b|cos|a|b|cos 10向量数量积的性质 a、b是两个非零向量，它们的夹角为.(1)当a与b同向时，；当a与b反向时，；其 它 情 况：ab|a|b|；特别地，.(2)ab0.(3)cos.(4)|ab|.ab|a|b|ab|a|b|ab|a|b|11向量数量积的运算律(1)ab.(2)(a)b(R)(3)(ab)c.ba(ab)a(b)acbc 12向量数量积的坐标表示(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab.(2)若a(x，y)，则aaa2|a|2，|a|.(3)若A(
4、x1，y1)，B(x2，y2)，则|，此式为平面上两点间的距离公式(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab.(5)a、b是两个非零向量，它们的夹角为，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则.x1x2y1y2x2y2x1x2y1y20 1(2010陕西)已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.解析ab(1，m1)，(ab)c 12(1)(m1)0 m1 答案1答案B 答案A 点评与警示本题考查用给定的基底表示平面向量和平面向量共线定理，用三角形和多边形加法法则表示向量 解析解题关键是利用平面几何知识得出：DFFC12，然后利用向量的加减法则，可得正确答案
5、为B.答案B 解由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15334)(6，42)点评与警示向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则已知a(4,3)，b(1,2)，mab，n2ab，分别按下列条件求实数的值(1)mn；(2)mn；(3)|m|n|.解析(ab)2|ab|2a22abb2 5210b250 b225.|b|5.答案C已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们之间的夹角均为120.(1)求证：(ab)c；(
6、2)若|kabc|1(kR)，求k的取值范围(2)解 由|kabc|1，得|kabc|21，即(kabc)21 k2a2b2c22kab2bc2kca1，即k22k0 k2.点评与警示本题考查了用平面向量数量积来证明两个向量的垂直关系，和向量的模的转化(|a2|a2aa)(2007广东理)已知ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)(1)若c5，求sinA的值；(2)若A是钝角，求c的取值范围 1平面向量基本定理就是说可以用一组基底表示平面内的任意一个向量，这种表示是唯一的，但基底的选取却不唯一 2向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，它使向量的运算完全化为代数运算，许多几何中较难证明的问题，用向量坐标法易于解决 3平面向量a与b的数量积，ab|a|b|cos是一个实数，不是向量a与b的夹角的取值范围：0180.
