1、红桥区 2021 届高三下学期 5 月第二次质量调查数学第卷注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。参考公式：如果事件 A 与事件B 互斥，那么 P ABP AP B.如果事件 A 与事件B 相互独立，那么 P ABP A P B.棱锥的体积13VSh，其中 S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集1,2,3,4U，集合31,A，4B，则UBA（）A.2 B.1,3,4C.2,4 D.42 设
2、 xR，则“230 xx”是“12x”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3 函数2|xxye（其中 e 为自然对数的底）的图象大致是（）A.B.C.D.4.2021 年 4 月 23 日是第 26 个世界读书日，某市举行以“颂读百年路，展阅新征程”为主题的读书大赛活动，以庆祝中国共产党成立 100 周年。比赛分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于 90 分的具有复赛资格，某校有 1000 名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(30,150内，其频率分布直方图如下图所示，则该校获得复赛资格的人数为A.650B.660C.680D.7005.已
3、知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球O 的球面上，且6AB，2 3BC，则棱锥OABCD的体积为A.4 3 B.8 3 C.24 3 D.36 36.已知奇函数()f x 在 R上是增函数，若21log 5af，2log 4.1bf，0.82cf，则a，b，c的大小关系为（）A.cba B.bacC.abc D.cab 7.已知双曲线22221(0,0)xyabab与抛物线24yx有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若52PF，则双曲线的渐近线方程为（）A.12yx B.2yx C.33yx D.3yx 8.设函数3()cos2sin cos2f xxxx，给出下列结论：()f
4、 x 的最小正周期为；()f x 在2,63单调递减；()yf x的图象关于直线12x对称；把函数cos2yx图象上所有点向右平移12 个单位长度，可得到函数()yf x的图象.其中正确的结论有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个9.已知函数2(1),0()43,0 xexf xxxx ，若函数()yf xa有四个不同的零点，从小到大依次为1x，2x，3x，4x，则1234x xxx的取值范围为（）A.(4,4)e B.4,4)eC.4,)D.(5,3e第卷二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.10.i 为虚数单位，复数171izi，则 z _.11.在代数式
5、721xx的展开式中，x 的系数是_.（用数字作答）12.过点31,3的直线l，截圆224xy所得弦长为2 3，则直线l 的方程为_.13.在抗击新冠肺炎疫情期间，甲、乙两所医院各选派了 6 名医护人员加入“援鄂医疗队”，其中甲院选派人员中有 4 名男医生、2 名女医生，乙院选派人员中有 1 名男医生、5 名女医生。现需要分别从甲、乙两院选派的人员中各随机抽调出一名医生作为联络人，则抽调出的两名医生都是男医生的概率为_.14.已知正实数a，b 满足1ab，则2241abab的最小值为_.15.如图，在直角梯形 ABCD 中，已知/AB DC，90DAB，2AB，1ADCD，对角线 AC 交BD
6、于点 0，点 M 在 AB 上，且满足OMBD，则 AM BD的值为_.三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且3b，2c，2cos3A.（）求边a 及角B 的值；（）求cos 26C 的值.17.如图，在四棱锥 PABCD中，PA 面 ABCD，/AB CD，且2CD，1AB，2 2BC，1PA，ABBC，N 为 PD的中点.（）求证：/AN平面 PBC；（）求平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的余弦值.18.已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为22，1F、2F 分
7、别为椭圆E 的左、右焦点，M 为椭圆E 上任意一点，12F MFS的最大值为 1，椭圆右顶点为 A.（）求椭圆E 的方程；（）若过 A 的直线l 交椭圆于另一点B，过B作 x 轴的垂线交椭圆于点C（C 点异于B点），连接 AC 交y 轴于点 P.如果1PA PB2，求直线l 的方程19.已知等比数列 na的公比为 3，且4330aa.（）求数列 na的通项公式na，及前n 项和nS；（）若数列 nb满足111ninibbi，且11b （i）求数列 nb的通项公式nb；（ii）求211niiia b.20.函数1()ln(0)xf xxaRaax且，1()(1)()xg xbxxebRx（）讨论
8、函数()f x 的单调性；（）若当1a 时，关于 x 的不等式()()2f xg x 恒成立，求实数b 的取值范围.高三数学答案一、选择题题号123456789答案DCBABADCD二、填空题10.34i 11.2112.320 xy或1x 13.1914.1015.23三、解答题16.解：（）由余弦定理2222cosabcbcA，可得5a 由正弦定理 sinsinsinaBCcbA，可得sin1B.(0,)B，所以2B（）由于2sincos3CA，5cossin3CA 所以254 5sin22sincos2 339CCC，21cos22cos19CC 所以34 5cos 2cos2cossi
9、n2sin66618CCC 17.解：（）证明：过 A 作 AECD，垂足为E，则1DE ，如图，以 A 为坐标原点，分別以 AE，AB，AP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系则(0,0,0)A，(0,1,0)B，2 2,0,0E，2 2,1,0D，2 2,1,0C，(0,0,1)P由 N 为 PD的中点，1 12,2 2N，则1 12,2 2AN设平面 PBC 的一个法向量为(,)xzmy，(0,1,1)BP，2 2,0,0BC 则02 20ym BPm BzCx ，令1y ，解得：m(0,1,1)11AN m022，ANm 又 AN 平面 PBC，所以/AN平面 PBC.（）设平面 P
10、AD 的一个法向量为证n(,)a b c，AP(0,0,1)，AD2 2,1,0AP n0AD n2 20cab，令1a，解得n1,2 2,0|m n|2cos m,n3|m|n|即平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的余弦值为 2318.解：（）当 M 为椭圆的短轴端点时，12F MFS取得最大值，即1212Scb，又因为2a2c，222abc，解得：2a，1b，1c ，所以椭圆方程为2212xy（）2,0A，根据题意，直线l 斜率存在且不为 0，设直线:2l yk x，00,B x y，联立22212yk xxy，得22221 24 2420kxk xk，所以20242212kxk，解
11、得2022 2212kxk 所以2222 212 2,1212kkBkk.由题意，直线2222 212 2,1212kkBkk，令0 x，则 0,2Pk 2422222 212 2410212,2,21212122kkkkPA PBkkkkk 即4281850kk，解得：252k （舍）214k 所以：12k 直线2:22xl y 或222xy 19.解：（）由等比数列 na的公比为 3，n 1n1 3aa 3243113330aaaa，解得153a 所以25 3nna，n5 135331136nnS（）（i）由11b，且*2311123nnbbbbbnNn，当1n，121bb，即22b 当2
12、n 时，211112nnbbbbn，又2111121nnnbbbbbnn ，两式相减可得111nnnbbbn 方法一：化为21112nnbbbnn （方法二：化为11nnbnbn，累乘）所以nbn，上式对1n 也成立，所以nbn，*nN.（ii）211 12 33 5211nniinniMa ba ba ba ba b 25 15 35 3 55 3(21)3nn ，221355 35 355 3(21)nnMn ，上面两式相减可得2215210 13335 3(21)3nnnMn 11513105 3(21)313nnn，化简可得121155(1)33nniiia bn20.解：（1）由题意
13、22111(0)()axxxaxfxxa 当0a 时，()0f x，()f x在(0,)单调递增；当0a 时，由()0fx得：1xa；由()0fx得：10 xa，()f x在10,a单调递减，在 1,a单调递增综上：当0a 时，()f x 在(0,)单调递增；当0a 时，()f x 在10,a单调递减，在 1,a单调递增.（）由题意：当1a 时，不等式()()2f xg x ，即11ln1(1)2xxbxxexx 即ln11xxbexx 在(0,)恒成立令ln1()xxh xexx，则22221ln1ln()xxxx exh xexxx 令2()lnxu xx ex，则21()20 xu xxx ex()u x在(0,)单调递增又(1)0ue，1ln2024eu，所以，()u x 有唯一零点00112xx，所以，00u x，即0000lnxxx ex 令1()12xk xxex，则方程等价于()(ln)k xkx又易知()k x 单调递增，所以lnxx，1xex当00,xx时，()0u x 即()0h x，()h x 单调递减；0,xx 时，()0u x 即()0h x，()h x 单调递增，所以 0h x为()h x 在定义域内的最小值.000000000ln1111xxxh xexxxxx 所以11b ，即2b 所以实数b 的取值范围是(,2
