1、 1复数(1)复数的概念 理解复数的基本概念 理解复数相等的充要条件 了解复数的代数表示法及其几何意义(2)复数的四则运算 会进行复数代数形式的四则运算 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义 2推理与证明(1)了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用(2)了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理(3)了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异(4)了解数学归纳法的原理(5)能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 3几何证明(1)了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理(2)会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理(
2、3)会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理(4)了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆)(5)了解下面定理 定理：在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于点O，其夹角为，l围绕l旋转得到以O为顶点、l为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴交角为(与l平行，记0)，则：，平面与圆锥的交线为椭圆；，平面与圆锥的交线为抛物线；，平面与圆锥的交线为双曲线 1复数(1)复数的运算是本章的重点，复数的几何意义及运算是主要考查的内容从题型上看，多以选择题、填空题出现(2)预计2011年高考仍会以选择题、填空题出现，重点考查复数的
3、基本概念、复数相等及代数形式的几何意义，也可能与向量结合，考查加、减运算的几何意义，或者以复数代数运算为载体命制创新题，但总体上难度不大 2推理与证明 推理与证明是新课标新增内容，但其内容及其思想方法在统编教材中都有体现历年来，高考中都有大量的推理与证明的题目出现，主要考察的形式有：(1)给定命题的证明问题证明方法主要有综合法、分析法、数学归纳法、反证法(2)类比型问题这种题型是新课标创新要求的体现，最常见的是二维问题与三维问题的类比，同结构问题的类比(比如圆锥曲线内的类比问题、数列内的类比问题等)，较少对照不同结构的类比问题(3)归纳、猜想、证明问题这种类型题目往年高考考查比较多，常常用不完
4、全归纳法猜想结论，再用数学归纳法证明，称之为“先猜后证”在复习备考中要把握考试特点，注重落实 3几何证明选讲 根据2010年高考所命的选做题来看，题目难度均为中等或容易题预计2011年高考题中的选做题仍然是中等或容易题，因此在复习过程中，只要注意理解专题内容中的基本概念、定理、公式，以及掌握基本的解题方法即可不宜钻的得过深、过难，避免浪费许多时间和精力但由于是容易题或中等题，应该志在必得 1虚数单位 i的定义与特性：.i可以与实数进行，并满足于加法和乘法的交换律、结合律、以及乘法对加法的分配律i21加法和乘法运算 2复数的基本概念(1)复数的定义与代数形式：我们把集合Cabi|a，bR中的数，
5、即形如abi(a，bR)的数叫做复数全体复数所成的集合C叫做复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，这一表示形式叫做其中的a与b分别叫做复数z的(2)复数的分类：对于复数abi(a，bR)，当且仅当时，它是；当且仅当ab0时，它是时，叫做；当时，叫做即复数集复数的代数形式实部与虚部b0实数实数0；当b0虚数a0且b0纯虚数(3)复数相等的充要条件：a、b、c、dR时，abicdiac且bd.(4)共轭复数：当两个复数的时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做复数za bi(a，bR)的共轭复数用(a，bR)表示 3复数的几何意义(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复
6、数的平面叫做，x轴叫做，y轴叫做实部相等，虚部互为相反数共轭虚数复平面实轴虚轴(2)复数的几何意义：复数集C与复平面内所有的点所成的集合是的，复数集C与复平面内所有的以原点为起点的向量所成的集合也是的(实数0与零向量对应)即复数复平面内的点Z(a，b)一一对应一一对应(4)i的幂的性质：i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)，inin1in2in30，inin1in2in31，(nN*)5复数代数形式的四则运算法则 设z1abi，z2cdi，(a，b，c，dR)(1)复数的加减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i(2)复数的乘除法：z1z2(abi)(cdi)(a
7、cbd)(adbc)i 这些法则可以理解为关于i的二项式的四则运算两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，要在所得的结果中，并且在进行复数除法运算时，分子分母都乘以，使后再计算，最后要把结果写成形如abi(a，bR)的形式把i2换成1把实部与虚部分别合并分母的共轭复数分母实数化 6复数的加法、乘法满足于交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律实数的也能推广到复数集中，即zmznzmn，(zm)nzmn，(z1z2)nz1nz2n，其中z、z1、z2C，m，nN*.正整数指数幂运算复数z1z2(2)复数减法的几何意义(3)复平面内两点间的距离公式：.其中z1、z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数
8、，d为点Z1和点Z2之间的距离复数z1z2d|z1z2|1(2011深圳一模)复数(34i)i(其中i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 答案B 2(2010广东，2)若复数z11i，z23i，则z1z2()A42i B2i C22i D3i 答案A 3(2010惠州二模)若(a2i)ibi，其中a，bR，i是虚数单位，则ab_.解析由(a2i)ibi得2aibi，故a1，b2，ab3.答案3(人教A版选修22，第119页B组2.改编)设复数z的模为17，虚部为8，则z_.答案158i 点评与警示复数分类的充要性的掌握是解此类题的关键复数集C与复平
9、面内的点集是一一对应的，这为形与数之间的相互转化，以及为解决形或数问题提供了一条重要思路(2009江西卷理)若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()A1 B0 C1 D1或1 答案A 解析设z1xyi，z21bi，由复数相等 1 bi x yi i(x yi)(x y)(yx)ibyx(xy)1 答案1 点评与警示解决这类问题的基本方法是：设复数的代数形式，利用两复数相等的充要条件，列出方程组，把复数问题转化为实数范围内的代数问题，体现了转化思想和方程思想(2010江西，1)已知(xi)(1i)y，则实数x，y分别为()Ax1，y1 Bx1，y2 Cx1，y1 Dx1，y2 答
10、案D已知关于x的方程x2(k2i)x2ki0有实根，则这个实根等于_，实数k的值等于_ _ 分析方程的实根必然适合方程，设xx0为方程的实根，代入整理后得abi0(a，bR)的形式由复数相等的充要条件，可得关于x0与k的方程组，通过解方程组便可求得x0与k.点评与警示有关系数为复数的一元二次方程求解问题，在系数不能确定为实数时，用判别式是不能够判断方程有无实数根的此时应利用复数相等的充要条件建立实数之间的对应关系，进而解实数方程求解 已知方程(2i)x2(5i)x(22i)0有实数解，求出实数解x.分析由复数等于0的充要条件实部、虚部都等于0，将问题转化为解关于实数的方程组问题 解因为xR，将
11、方程(2i)x2(5i)x(22i)0，变形为(2x25x2)(x2x2)i0，答案(1)C(2)A 点评与警示 复数代数形式的运算是复数部分的重点，其基本思路就是应用运算法则进行计算复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(abi)2a22abib2与(ab)2a22abb2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(abi)(abi)a2b2与(ab)(ab)a2b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误 答案A 1掌握好复数abi(a，bR)表示实数、虚数、纯虚数的充要条件，特别要注意复数的实部与虚部的概念 2复数相等是复数实数化的桥梁，是解复数方程的重要手段因此在求解有关复数的问题时，常将复数z设为xyi(x，yR)代入条件式后，把复数的实部和虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件，化复数问题为实数问题 3在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，dR，即当a，b，c，dR时，由abicdi可知ac，且bd，但忽略条件后，则不能成立
