1、 1奇函数、偶函数定义(1)如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有；即互为相反数的两个自变量值对应的函数值互为相反数，那么函数f(x)就叫做奇函数(2)如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，即互为相反数的两个自变量值对应的函数值相等那么函数f(x)就叫做偶函数f(x)f(x)f(x)f(x)2奇函数和偶函数的性质(1)奇函数图象关于对称；偶函数图象关于对称(2)偶函数在区间(a，b)上递增(减)，则在(b，a)上，奇函数在区间(a，b)与(b，a)上的增减性 原点y轴递减(增)相同 4周期函数定义 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
2、，那么函数f(x)就叫做周期函数，T为函数的一个周期f(xT)f(x)1(2010广东)若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为R，则()Af(x)与g(x)均为偶函数 Bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数 Cf(x)与g(x)均为奇函数 Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数 解析f(x)3x3xf(x)，g(x)3x3xg(x)答案B 答案C 3(2010山东)设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)()A3 B1 C1 D3 解析因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)0，可求得b1，f(1)f(1)(212b)3.故选D.答案D
3、(4)当x0，则f(x)(x)2x(x2x)f(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)对任意x(，0)(0，)都有f(x)f(x)f(x)为奇函数(5)函数的定义域为R.当a0时，f(x)x2|x|1.有f(x)f(x)，f(x)是偶函数 当a0时，f(a)a21，f(a)a22|a|1.f(a)f(a)且f(a)f(a)2(a2|a|1)点评与警示判断函数的奇偶性，应首先求出函数的定义域，并视定义域是否关于原点对称只有定义域关于原点对称，才有验证是否有f(x)f(x)或f(x)f(x)的必要 已知f(x)是定义在(1,1)上的偶函数，且在区间0,1)上是增函数，若
4、有不等式f(a2)f(3a)0成立求实数a的取值范围 点评与警示本例题的求解过程中，既要利用函数的奇偶性，又要利用函数的单调性求解此类问题的一般思路有两条：一是就a2与3a的符号进行分类讨论(过程繁琐)；二是利用偶函数的性质f(x)f(x)f(|x|)而得到“|x1|x2|f(x1)f(x2)”已知f(x)是定义在(1,1)上的偶函数，且在区间(1,0上是减函数，若有不等式f(a2)f(a3)0成立，求实数a的取值范围 分析(1)通过建立方程，求出a、b的值确定f(x)的解析式(3)利用函数的单调性脱掉“f”点评与警示(1)如果一个奇函数在x0处有定义那么f(0)0.(2)解不等式f(t1)f
5、(t)0时，注意函数定义域对t的限制已知奇函数f(x)定义在R上，其图象关于直线x1对称，当x0,1时，f(x)2x1.(1)当x1,0)时，求f(x)的表达式；(2)证明f(x)是周期函数，并求出它的一个周期；(3)当x4,5时，求f(x)解(1)当1x0时x(0,1，而f(x)2x1，且f(x)是奇函数所以f(x)f(x)，即f(x)f(x)2x1.(2)因为f(x)的图象关于直线x1对称，所以f(x)f(2x)，用x替换x，就有f(x)f(2x)由f(x)是奇函数得f(x)f(x)，所以f(2x)f(x)，进而f(x4)f(x2)f(x)可知f(x)是周期函数，4是它的一个周期(3)当4
6、x5时，0 x41.所以f(x4)2x41.而f(x4)f(x)，所以f(x)2x41(x4,5)为所求 点评与警示(1)已知奇函数f(x)的图象关于xa对称，则f(x)是周期函数，且4a为其中的一个周期；若偶函数f(x)的图象关于直线xa对称，则2a为其中的一个周期(2)注意分清函数图象的几种关系：若f(x)满足f(ax)f(ax)，则f(x)的图象关于直线xa对称 若f(x)满足f(xa)f(xa)，则f(x)的周期为2a.函数yf(xa)与函数yf(ax)图象关于直线xa对称 1判断函数奇偶性就是看f(x)与f(x)是否有相等关系或互为相反数的关系 2函数的奇偶性是对整个定义域而言的，因此讨论函数奇偶性首先要看其定义域“函数的定义域关于原点对称”是它具有奇偶性的前提 3要注意从数和形两个角度理解函数的奇偶性要充分利用f(x)与f(x)之间的转化关系和图象的对称性解决有关问题
