1、第七节 指数与指数函数基础梳理1.幂的运算(1)根式若xn=a(nN*，n1)，则x=,0.nna nNa nNa (2)根式的性质()n=_(nN*，n1)=_.(3)分数指数幂正分数指数幂：=_(a0，m，nN*，且n1)负分数指数幂：=_(a0，m，nN*，且n1)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义(4)幂的运算性质aman=_，aman=_，(am)n=_(m，nQ，a0)n annamnamnaa,|,a nan为奇数为偶数nma1nmaamnam+nam-n2.指数函数的图象与性质y=axa10a0时，_；当x0时，_；当x10y10y1增减(0,1)基础达标1.(必修
2、1P48习题4改编)化简_.2111333324()3a ba b 2.(必修1P52练习3改编)函数的定义域为_，值域为_1()2xf x 3.f(x)=(a-1)x是R上的单调递增函数，则a的取值范围为_-6a 211110333324()663a ba ba ba 解析：原式=解析：由题设可知x 0，y0且y 1.x|x0y|y0且y 1解析：a-11a2.(2，+)5.若函数f(x)=1+2x+4xa 在(-，1上有f(x)0恒成立，则a的取值范围为_.4.已知a=，函数f(x)=ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系为_512 解析：0a=1，f(x)在R上递减，
3、mnm0恒成立，即，于是恒成立，其中x1，max11(),42xxa 34a 经典例题题型一 指数幂的化简与求值【例1】化简下列各式(1)；(2)；(3)2343ababab111abab4133332233381 242aa bbaababa分析：根据根式与分数指数幂的关系去根号，把负指数幂化为正指数幂，再利用分数指数幂的运算性质化简、计算解：(1)(2)(3)711112323877882424331()()abaabaa ba bbabbabb1111111abababababababab4133332233311111333332112111333333311133381 242(8)
4、21422aa bbaababaaabbaaaba baaaba a aa变式1-1 化简下列各式12112133265(1)ababa b121121333225(2)(3)(4)6 a baba b12112133211111 1 11 1 533223 2 62 3 61565661(1)ababa bababaa ba b 解析：12111132133336322213222355(2)(3)(4)(2)625515444a baba ba ba babababab 题型二 指数函数图象的应用【例2】已知函数.(1)作出图象；(2)指出该函数的单调递增区间；(3)求值域212xy 分析
5、：本题要考虑去绝对值符号，把函数解析式写成分段函数的形式，再作出图象，然后根据图象寻求其单调递增区间和最值解：(1)由函数解析式可得其图象分成两部分：一部分是的图象，由下列变换可得到：；另一部分y=2x+2(x-2)的图象，由下列变换可得到：如图为函数的图象2221,21222,2xxxxyx 21(2)2xyx 21122xxyy222xxyy(2)由图象观察知函数在(-，-2上是增函数(3)由图象观察知，x=-2时，函数有最大值，最大值为1，没有最小值故其值域为(0,1212xy 变式2-1 已知实数a，b满足等式，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；a=b.其中不可能成立的关
6、系式有_个1123ab2 解析：函数与的图象如图由，得ab0或0b0，a1)的定义域为R，所以y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同；值域则要应用其单调性来求，复合函数则要注意“同增异减”的原则解：(1)定义域为R.因为-|x+1|0，所以y=-|x+1|0=1，所以值域为1，+)2323(2)因为2x+11恒成立，所以定义域为R.又因为所以0y0且a1)(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立1112xa分析：(1)先判断函数的定义域是否关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)之间的关系；(2)题出现了，所以应分a1与0a1时，对x0，由指数函数的
7、性质知ax1，ax-10，.又x0，x30，即当x0时，f(x)0.又由(1)知，f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x)，当x0，有f(x)=f(-x)0.综上，当a1时，f(x)0在定义域上恒成立当0a0时，0ax1，ax+10，ax-10，此时f(x)0，不满足题意；又f(x)为偶函数，当x0，f(x)=f(-x)0时的情况当x0时，f(x)0，即，即.ax-10，ax1，axa0.又x0，a1.因此a1时，f(x)0在定义域上恒成立311012xxa11012xa1021xxaa 变式4-1(2011海安中学期中考试)已知函数满足f(c2)=(1)求常数c的值；(2)解不等式f(x).
8、98210,()21,1cxxcf xxcxc 218 解析：(1)由题意知0c1，于是0c2c，所以=f(c2)=cc2+1=c3+1，即c3=，故c=981812(2)由(1)得f(x)=1111,022124,1.2xxxx 121128102xx 122418112xx 由题意得或解不等式组得21154228xx或综上，不等式f(x)+1的解集为 .282 5,48链接高考(2010重庆)函数f(x)=的图象关于_对称知识准备：1.会进行函数奇偶性的判断；2.知道奇偶函数的对称性412xx12x解析：f(x)=2x+=2x+2-x，f(-x)=2-x+2x=f(x)，y=f(x)为偶函数，即图象关于y轴对称y轴