1、第九章 直线、平面、简单几何体第讲（第一课时）1考点搜索公理1、2、3及公理3的三个推论用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图高考猜想1.考查共点、共线、共面问题的分析与判断.2.知道斜二测画法原理的应用.3.考查简单的截面图的画法.21.通常画平行四边形表示平面，当平面水平放置时，一般把平行四边形的锐角画成_；当平面竖直放置时，一般把平行四边形的一组对边画成_;画两相交平面时，一定要画出它们的交线.2.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么_都在这个平面内.该公理用符号语言表述为_ _.45铅垂线这条直线上所有的点若A、Bl,则=l，且 Pl3公理2:如果两个平面有一个公共点，那么
2、它们还有其他公共点，这些公共点的集合是_.该公理用符号语言可表述为_.公理3：经过_的三点，有且只有一个平面.3.推论1：经过一条直线和_有且只有一个平面.推论2：经过两条_直线有且只有一个平面.一条直线若点P,则=l,且 Pl不在同一条直线上直线外一点相交4推论3：经过两条_ 直线有且只有一个平面.4.如果构成图形的所有点都在同一平面内，这个图形叫做 _；如果构成图形的点不都在同一平面内，这种图形叫做 _ 5.表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.画空间图形的直观图，有如下画法规则：平行平面图形立体图形5(1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直 的 轴 Ox、Oy，再 取 Oz,xO
3、z=_,且yOz=_.(2)画直观图时，把它们画成对应的轴Ox、Oy、Oz,使 xOy=_，xOz=_，xOy所确定的平面表示_.(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成 _的线段.909045 或13590水平面平行于x轴、y轴或z轴6(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持不变 _；平行于y轴的线段，长度为 _.长度原来的一半71.、是两个不同的平面，在平面内取4个点，在平面内取3个点，则由这7个点最多可以确定个平面.解：在内取1个点，内取2个点可以确定=12个平面;在内取2个点，内取1个点可以确定=18个平面.再加、2个平面，故最多可确定32个平面.
4、3282.正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，则正方体的过点P、Q、R的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形D9解：如图，分别取C1D1、BB1、DD1的中点E、M、N.易证PQMNRE，从而P、Q、N、E、R、M共面，所以截面图形是六边形，故选D.101.对空间三条直线，如果其中一条直线和另两条直线都相交，讨论由这三条直线可以确定几个平面.解:设a,b,c为三条直线,ab=A,ac=B.(1)若bc，则b、c确定一个平面，且a在这个平面内，故共确定一个平面.题型1 确定平面的个数11(2)若b与c异面，则由a、b确定一个平面，由a
5、、c确定一个平面，故共确定两个平面.(3)若b与c相交，设bc=C.当a不经过C点时，A、B、C三点不共线，由这三点确定一个平面，直线a、b、c都在这个平面内，故共确定一个平面.当a经过C点时，a、b、c三线共点.若a、b、c共面，则确定一个平面；若a、b、c不共面，则确定三个平面.12综上分析，这三条直线可以确定1个或2个或3个平面.点评：解决空间直线或点确定平面的个数问题，一是先按已知元素之间的位置关系(如直线分异面与共面，点分共线与不共线)进行分类讨论；二是利用公理进行计数.13讨论一条直线和这条直线外不共线的三点可以确定几个平面?解：设点A、B、C为直线l外不共线的三点.(1)若点A、
6、B、C中任意两点与直线l都不共面，则直线l与点A、B、C分别确定一个平面.又A、B、C三点确定一个平面，故共确定四个平面.14(2)若点A、B、C中有且只有两个点与直线l共面，不妨设A、B两点与l共面，则直线l与A、B两点确定一个平面，l与C点确定一个平面，又A、B、C三点确定一个平面，故共确定三个平面.(3)若A、B、C三点与l共面，则可以确定一个平面.所以一条直线和这条直线外不共线的三点，可以确定4个、3个或者1个平面.152.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成()A.5部分 B.6部分C.7部分D.8部分解：三条两两相交(不过同一点)的直线将平面分成7个部分.
7、拓展到空间，三个两两相交的平面，当三条交线互相平行时，这三个平面将空间分成7部分，故选C.题型2 空间的分割问题C16讨论三个平面将空间分成几个部分，并画出示意图.解：设三个平面分别为、.(1)若，则空间被分成四部分.(2)若，与、都相交，则空间被分成六部分.(3)若、都相交，且三条交线互相平行，则空间被分成七部分.17(4)若、两两相交，且三条交线共点，则空间被分成八部分.故三个平面可将空间分成4或6或7或8部分.图略.点评：平面分割空间问题，注意先按平面之间的位置关系进行分类计数，再按交线之间的关系进行分类计数.183.画水平放置的正三角形的直观图，并求这个正三角形与其直观图的面积之比.解
8、：(1)在正ABC中，取BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系xOy，画对应的坐标系xOy，使x O y =45.题型3 斜二测画法作图问题19(2)以O为中点，在x轴上取BC=BC，在y轴上取点A，使OA=OA.(3)连结AB，AC，则 AB C为正ABC水平放置的直观图.设正ABC的边长为a，过A作x轴的垂线，垂足为D，则AD=OAsin45=OAsin45=20所以SABC=BCAD=a a=a2.因为SABC=BCOA=a=a2，所以点评：斜二测画法作图的规则是“水平不变，纵直减半”.求直观图的面积与原图形的面积之比时，应注意高的变化.21已知一个水平放置的平面图形的斜
9、二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45，两腰和上底边长均为1，求这个水平放置的平面图形的面积.解：设直观图ABCD对应的平面图形为ABCD.22因为直观图ABCD是底角为45的等腰梯形，据斜二测画法规则，对应的平面图形ABCD是一个直角梯形，如上图所示，且AB=AB，CD=CD，AD=2AD.23在等腰梯形中，分别过作的垂线，垂足分别为.由已知所以所以又所以241.空间一些点和直线不一定共面，由它们可以确定若干个平面.依据公理3及三个推论，分析各种可能位置关系，通过分类讨论才能确定平面的个数.2.一个平面将空间分割成两部分，分析两个或两个以上的平面将空间分割成几部分时，要分类讨论这些平面的相对位置关系，必要时可将问题转化为直线将平面分割成几部分来处理.253.多面体的截面图是一个平面多边形.画截面图的实质是画出截平面与多面体各面相交时的交线，其关键是找到两相交平面的某两个公共点，若这些公共点在多面体内部找不到，可作延长线，到多面体外部去找.4.用斜二测画法作空间图形的直观图，其基本思想是通过选取直角坐标系，依据斜二测画法规则，确定空间图形的各顶点在直观图中的位置.26
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